Подготовка к ГИА-2022

функций. Первообразная и интеграл.
Задание №12. Наибольшее и наименьшее
значение функции.
Исследование при помощи производной.

среднего общего образования в 2021 году

Алгебра и начала анализа.
В ряде работ была отмечена низкая культура ведения математических записей:
положение дробной черты, запись показателя степени и основания логарифма относительно строки;
использование математических символов: знак «объединения множеств» заменяют союзом «и»;
вместо знака производной «штрих» пишут запятую или единицу;
вместо «стационарная точка» пишут «стабильная точка», «стандартная точка» и т.д.;
термин «область определения функции» путают с терминами «область значений функции»;
непонимание отличия точки минимума от минимума функции,
различия между знаками системы и совокупности.
В тестовой части наибольшее затруднение вызвали задания № 10 и № 12:
№ 10 –  проверка умения применять приобретённые знания в практической деятельности и повседневной жизни, работа с формулой (не справились 7,2% участников ГИА);
№ 12 – проверка умения работать с функцией, нахождение точки минимума (не справились 6,7%)

среднего общего образования в 2021 году

Так же в ряде работ (более 5 %) имели место следующие ошибки:
незнание формул частного и общего случаев простейших тригонометрических уравнений; (5,1%)
затруднение в применении метода равносильных переходов при решении логарифмического неравенства; (5,3%)
неумение решать квадратные неравенства; (6,2%)
неумение решать системы неравенств; (5,2%)
ошибки при выполнении рисунка к системе неравенств; (5,9%)
ошибки при нахождении производной функции и стационарной (критической) точки; (5,3%)
неумение определять и записывать промежутки монотонности функции; (5,8 %)
неумение определять и записывать точки экстремумов и экстремумы функции; (7,1 %)
ошибки при построении графика (21,9%).
Наибольшее затруднение участников ГИА-2021
вызвало задание № 18, в котором необходимо исследовать функцию и построить ее график. 
К его выполнению не приступило менее 3% экзаменуемых. Почти все участники ГИА справились с исследованием функции. Основное затруднение вызвало построение графика.

среднего общего образования в 2021 году
Геометрия. 
Низкая графическая культура участников ГИА. В ряде работ (около 40 %) выявлены ошибки и недочеты в выполнении рисунка:
изображение видимых и невидимых линий;
построение элементов фигуры в соответствии с их свойствами.
Запись единиц измерений:
в условии задания единицы измерения есть, а в ответе – нет; или наоборот;
указаны неверные единицы измерения. 
Ошибки в задачах , решение которых опирается на рисунок:
рисунок не выполнен или не соответствует решению.
В тестовой части ошибки встречались в заданиях № 3 и № 8:
№ 3, нахождение площади изображенной фигуры по ее координатам – не справились 8,7% участников ГИА;
№8, нахождение площади боковой поверхности цилиндра по его высоте и радиусу основания – не справились 6,8% участников ГИА.
В задании № 19 участники ГИА допустили ошибки при:
изображении призмы (20,9 %);
обосновании угла наклона диагонали к плоскости основания (22,3%);
при обосновании равенства боковой стороны и большего основания
равнобокой трапеции, лежащей в основании призмы (11,1 %).

Задание №1 (Целые числа. Дроби, проценты, рациональные числа. Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений).
Задание №2 (Определение и график функции. Элементарное исследование функций. Основные элементарные функции. Табличное и графическое представление данных).
Задание №3 (Планиметрия. Измерение геометрических величин).
Задание №4 (Классическое определение вероятности. Формула полной вероятности. Геометрическая интерпретация вероятности. Элементы комбинаторики).
Задание №5 (Уравнения различного вида. Рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические).
Задание №6 (Треугольник, параллелограмм, ромб, трапеция. Окружность, круг. Свойства фигур и их комбинаций. Площадь и периметр).
Задание №7 (Производная. Исследование функций. Первообразная и интеграл).
Задание №8 (Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники. Тела и поверхности вращения. Измерения геометрических величин).
Задание №9 (Числа, корни и степени. Основы тригонометрии. Логарифмы. Преобразования выражений).
Задание №10 (Задачи с прикладным содержанием. Рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства).

№11 (Текстовая задача. Движение по прямой, по окружности, по воде. Задачи на проценты, сплавы, смеси. Задачи на совместную работу и прогрессии).
Задание №12 (Наибольшее и наименьшее значение функции. Исследование при помощи производной).
Задание №13 (Уравнения. Рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические. Отбор корней удовлетворяющих заданным условиям).
Задание №14 (Стереометрическая задача. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Сечения многогранников. Цилиндр, конус, шар).
Задание №15 (Неравенства. Рациональные, иррациональные, содержащие модуль, показательные и логарифмические).
Задание №16 (Планиметрическая задача. Многоугольники и их свойства. Окружности и системы окружностей. Окружности и многоугольники).
Задание №17 (Финансовая математика. Вклады, кредиты, оптимальный выбор).
Задание №18 (Задача с параметром. Расположение корней квадратного трехчлена, использование симметрий, использование свойств функции).
Задание №19 (Числа и их свойства. Основная теорема арифметики. НОД и НОК. Последовательности и прогрессии. Сюжетные задачи).

задание 7 по математике профильного уровня необходимо знать:
1.Задачи подразделяются на несколько видов:
-физический смысл производной.
-геометрический смысл производной и касательная;
-применение производной к исследованию функций;
-первообразная.
2. Знания функции производной и первообразной.
3. Определение понятий и понимание значений производной.
Необходимая теория:
Производная функции
https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/proizvodnaya-funkcii-geometricheskij-smysl-proizvodnoj/
Таблица производных
https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/tablica-proizvodnyx/
Первообразная функции
https://ege-study.ru/pervoobraznaya-funkcii-formula-nyutona-lejbnica/
Задание 7 Профильного ЕРЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще в этих заданиях встречаются вопросы о первообразной.

касательной к графику функции в
этой точке (тангенсу угла между касательной и осью Ох) f’(хo) = k = tg α

Физический смысл производной
Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки: V(t)=x’(t)

Пусть функция f(х) дифференцируема на интервале
(a;b), хo Є (a; b) и f’(хo) = 0, то:
при переходе через стационарную точку хo функции f(х) ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то хo – точка максимума функции f(х);
при переходе через стационарную точку хo функции f(х) ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то хo – точка минимума функции f(х).
 Производная положительна на промежутках, на которых функция возрастает и отрицательна на промежутках, на которых функция убывает.

координат задана фигура, ограниченная графиком непрерывной функции  у = f (х) , осью  Х  и прямыми у = a  и
у =  b. Функция   неотрицательна на отрезке [a; b].
Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:

Функцию F(x) называют первообразной для функции f(х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство F′(x) = f(x). 
Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием

Справочник.

профильному ЕРЭ. Часть 1. Задание №7

1. Геометрический смысл производной.
2. Касательная к графику функции.
3. Физический смысл производной.
4. Применение производной к исследованию функций.
5. Первообразная и формула Ньютона –Лейбница.

график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение 1.
Начнём с определения знака производной, видим, что в точке  x0 функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке  x0 образует тупой угол  α  с положительным направлением оси  Х .
Поэтому из прямоугольного треугольника найдём тангенс угла φ, смежного с углом  α.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему
у/ = tg φ= = 0,25
Решение 2.
Выбираем две точки А и В с целыми
координатами на касательной
у/ = ∆у = -2-0 =  -2 = - 0,25 ∆х 2-(-6) 8
Ответ: - 0,25

Прямая y=3x+1 имеет угловой коэффициент равный 3
Чтобы прямая была касательной к графику функции y необходимо, чтобы в точке x функция была равна 3x+1
и угловой коэффициент касательной в этой точке совпадал с угловым коэффициентом прямой 3
Подставляем в первое выражение
вместо a x значение 0,5, получаем: х=4
Тогда коэффициент a из второго уравнения равен 0,125.
Ответ: 0,125.

№ 3. Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции  ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Решение 1
По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола.
Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку.
Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x + 1 имело единственно решение.
Для этого дискриминант
уравнения ax2 − x + 2 = 0
должен быть равен нулю,
D = 1 − 8а = 0
откуда   а = 0,125.

угловому коэффициенту касательной.
Поскольку касательная параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны –2.
Найдем количество точек, в которых  это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −2.
На данном интервале таких точек 5.
Ответ: 5

№ 9
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t)= − + 6 t³ + 5t + 23
(где x –расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 3с.
Решение.
Скорость движения – это производная от пути по времени, то есть, чтобы найти закон изменения скорости нужно вычислить производную от функции x(t) по t, получим:
Скорость V(t) = x ́ (t) = -4t³+18t²+5 м/с.
В момент времени t=3 с скорость материальной точки равна
V(3)=-4∙3³+18∙3²+5=59 м/с.
Ответ: 59 м/с.

№12.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t)= t²−13t + 23
(где x —расстояние от точки отсчета
в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения).
В какой момент времени (в секундах)
ее скорость была равна 3 м/с?
Решение.
Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной.
x(t)=t2−13t+23 x/(t)= 2t - 13 2t - 13 = 3 2t = 16 t = 8
Ответ: 8 с.

задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.
Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.
Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.
И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.
Если  «+», то функция   возрастает.
Если  «-» , то функция   убывает.
В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».
В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

значений [-7; -3] показан синими линиями на рисунке ниже

№ 1.
На рисунке изображен график производной функции f (x), определенной на интервале (−8; 4).
В какой точке отрезка [−7; −3] 
f(x) принимает наименьшее значение?
Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?
Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

Из рисунка видно, что на интервале [-7; -3] производная функции f’(x) всюду положительна.
Так как производная положительна в точках возрастания функции f(x), то на интервале
[-7; -3] функция f(x) возрастает.
Следовательно, наименьшее значение
функция f(x) будет принимать в точке x=-7.
Ответ: -7.

это интервалы, на которых график расположен выше оси Ох. (показаны сиреневыми линиями ниже)
Наибольший из них — отрезок [−7; −1], длина которого 6. 
Ответ: 6.

№ 2.
На рисунке изображен график производной функции  определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции  В ответе укажите длину наибольшего из них.

на заданном интервале нужно найти точки пересечения с осью OX. Если график расположен ниже оси ОХ, то знак производной "-". Если график выше оси ОХ, то знак производной «+».
Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−13;1] функция имеет одну точку минимума x = −9
Ответ:1

№ 14.
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13;1].
Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках минимума функции.

график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x1, x2, ..., x9. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции y = f(x) отрицательна. В ответе укажите количество найденных точек.
Внимание. Нарисован график производной, а спрашивают о поведении функции.

Решение.
Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция f(x) убывает.
В этих интервалах лежат точки x3, x4, x5, x9.
Таких точек 4.
Ответ: 4

профильному ЕРЭ. Часть 2. Задание №12

Задание 12 второй части Профильного ЕРЭ по математике —
это нахождение точек максимума и минимума функции, также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.
Типы задач
1. Нахождение точек максимума и минимума функций
2. Исследование сложных функций
3. Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

и минимума функций

№5.
Найдите точку
минимума функции
y = (x+16)e16−x

 Решение
Будем искать точку максимума функции  с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.
Найдем производную у/ = e16−x - (x+16)e16−x у/ =e16−x( 1 - х - 16) =e16−x(-х-15) у/ = 0 e16−x(-х-15) = 0 e16−x ≠ 0 e16−x > 0 -х-15 = 0 х = - 15 Знак производной на интервалах: + _ _________o__________ у/  -15 x = -15 точка максимума
(производная меняет знак с + на -)
Ответ: -15

функций

№ 1.
Найдите точку максимума функции
Решение.
В скобках - квадратичная функция, графиком которой является парабола. Ветви параболы направлены вниз (a=-1), значит точка максимума будет в вершине параболы
х = -b/2a, в нашем случае — в точке  −7.
Основание логарифма 8 > 1 ⇒ логарифмическая функция -возрастающая.
Поскольку функция  возрастает, и функция 
 определена в точке −7, она также достигает в ней максимума.
Ответ: -7 

8
Найдите наименьшее значение функции
Решение 1.
Функция будет принимать наименьшее значение при тех значениях х, при которых подкоренное выражение принимает наименьшее значение.
Подкоренное выражение – квадратный трехчлен. Выделяем полный квадрат x2–6x+13=(x2–6x+9)+4=(x–3)2+4 ≥ 0 при всех х
Поэтому наименьшее значение функции достигается в точке 3,
и равно 2

Решение 2.
Рассмотрим функцию y = x2 - 6x + 13, графиком является парабола, ветви направлены вверх. Вторая координата её вершины и является наименьшим значением (у=2)
Поскольку функция  возрастающая, а подкоренное выражение положительно при всех значениях переменной, заданная функция достигает наименьшего значения в той же точке, в которой достигает наименьшего значения подкоренное выражение Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом х=1 достигает наименьшего значения в точке 
  х = -b/2a , х=3,
Следовательно, наименьшее значение заданной функции у=2
Ответ:2

наименьших значений функций на отрезке

№ 10
Найдите наименьшее значение функции 
на отрезке 
Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Решение
1. Найдем производную заданной функции:
у/ = 3 x2 +18 х=3х(х+6)
Стационарные точки: 3х(х+6)=0
Производная обращается в нуль в точках 0 и -6, заданному отрезку принадлежит число 0.
3. Вычислим значение функции в точке 0 и на концах отрезка
у(0)=15
у(-1,5)=31
у(1,5)=38
  Наименьшим значением на заданном отрезке является число 15 Ответ :15