Понятие логарифма

в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b

logab = c
ac = b (а ≠ 1, a > 0, b > 0)

- основное логарифмическое тождество

1 =
log49 1/7 =
log0,1 10000 =

3, 23 = 8;

6, 36 = 729;

-2, (0,2)-2 = 25;

1,5, 41,5 = 8;

1, 21 = 2;

0, 100 = 1;

-0,5, 49-0,5 = 1/7;

-4, 0,1-4 = 10000.

и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц

геометрической и арифметической прогрессии. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов», изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Сведения из истории

Слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и αρινμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел.

ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, – резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).

a > 0, х > 0
называют
логарифмической функцией

0

х

у

0

y = logaх, а > 1

1

y = logах, 0 < а < 1

х

у

0

1

0 < а < 1 функция убывает на (0; +∞).

а) Нули функции: у = 0 при х = 1;
б) точек пересечения с осью ординат нет.

Свойства функции:

D(y) = (0; +∞),
E(y) = (-∞; +∞).

называется логарифмическим уравнением.

Логарифмические уравнения

Решение: x=ab ОДЗ не надо !

2) Сводящиеся к простейшим: loga f(x) = loga h(х)

⟺

Пример:
log2(5 + 3log2(x - 3)) = 3
Решение:
5+3log2(x-3) = 23
3log2(x-3) = 8-5 | :3
log2(x - 3) = 1
x - 3 = 21
x = 5
Ответ: 5

3) = log3(x + 24),
Решение:
О.Д.З.: x>0,
х+3˃0,
х+24˃0
log3 (х(x + 3)) = log3(x + 24)
x(x+3)=x+24 ;
x2 + 2x - 24 = 0
x={-6;4} х = -6 -п.к. Ответ: x=4

= 0
Решение:
lg x = t lgx=1
t2-3t+2=0 lgx=2 x={10;100}
t =1, t = 2

1, a > 0
называют логарифмическими неравенствами

loga f(x) > logа g(х)

0 < а < 1

а > 1

ОДЗ

ОДЗ