Понятие поверхности в геометрии

Поверхность, одно из основных геометрических понятий

Поверхности составляют широкое многообразие нелинейных

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Поверхность можно рассматривать, как совокупность

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Подвижную линию принято называть образующей, неподвижные

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

По виду образующей различают поверхности линейчатые

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Циклические поверхности подразделяются на:
·Поверхности вращения;
·Винтовые поверхности;
·Поверхности

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Множество линий, заполняющих поверхность так, что

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Проекции каркаса могут быть построены, если

Определитель:

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек,

ОБРАЗОВАНИЕ И ЗАДАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ

Определитель:

Геометрическая часть определителя: три направляющих l, m, n, ось i пучка

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Поверхности вращения – это поверхности созданные при вращении образующей m

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Геометрическая часть определителя состоит из двух линий: образующей m и

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Так создается каркас поверхности, состоящей из множества окружностей, плоскости которых

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Из закона образования поверхности вращения вытекают два основных свойства:
1. Плоскость

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Рассмотрим наиболее распространенные поверхности вращения с криволинейными образующими:
Сфера – образуется

Сфера

Эллипсоиды
При сжатии или растяжении сферы она преобразуется в эллипсоиды, которые

Образование вытянутого эллипсоида

сжатый эллипсоида или сфероидом

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Тор – поверхность тора формируется при вращении окружности вокруг оси,

Тор

ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
Параболоид вращения – образуется при вращении параболы вокруг своей оси

Параболоид вращения

Гиперболоид вращения

различают одно и двух полостной гиперболоиды вращения.
Первый получается

Гиперболоид вращения

ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Винтовые поверхности образуются винтовым движением некоторой линии – образующей.
Под винтовым

ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

ВИНТОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Геометрическая часть определителя винтовой поверхности ни чем не отличается от

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА
Поверхность с плоскостью параллелизма представляет собой множество

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА

В зависимости от формы направляющих образуются три

Цилиндроид

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛИЗМА

Коноид. Коноидом называется поверхность, образованная движением прямолинейной

Коноид.

ПОВЕРХНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА

Поверхностью параллельного переноса называется поверхность, образованная поступательным плоскопараллельным перемещением

ПОВЕРХНОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА

Геометрическая часть определителя состоит из двух кривых линий образующей

ЛИНИЯ И ТОЧКА, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Для определения принадлежности точки и линии поверхности

ЛИНИЯ И ТОЧКА, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ

ЛИНИЯ И ТОЧКА, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ

ЛИНИЯ И ТОЧКА, ПРИНАДЛЕЖАЩИЕ ПОВЕРХНОСТИ

Алгоритм решения задачи:
1. Находим точки 12, 22,

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Пересечение плоскостью тел с параллельными образующими (призмы и цилиндры).

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Построение линий пересечения поверхностей
В общем случае линия пересечения двух кривых

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Наиболее простым является случай, когда плоскость проецирующая.
Рассмотрим решение

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают проецирующими и

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Этот способ рекомендуется применять, если сечения заданных поверхностей

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на

Охарактеризуем выбранные для построения точки:
·1, 8- две вершины эллипса, определяющие положение

Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ
В общем случае для графического определения точек пересечения линии

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ ПЛОСКОСТИ

1. Заключаем прямую линию в

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Построение точки пересечения прямой с конусом

Конические сечения

В зависимости от положения секущей плоскости линиями сечения конической

Если плоскость пересекает все образующие поверхности конуса вращения, то линией сечения

В частном случае если плоскость пересекает поверхность конуса по окружности

сечение

Если плоскость параллельна одной образующей поверхности конуса, то линией пересечения является

Если плоскость параллельна двум образующим поверхности конуса, то линией сечения является

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Линией пересечения двух поверхностей является множество точек, общих для

Секущие поверхности-посредники выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали

Метод секущих плоскостей

Вспомогательные секущие плоскости чаще всего выбирают проецирующими и параллельными

Алгоритм
1) Определяем опорные точки линии пересечения
2) Находим их горизонтальные проекции
3) Рассекаем

Определяем опорные точки линии пересечения

Находим их горизонтальные и профильные проекции

Построение линии пересечения треугольной призмы с конусом

Алгоритм
1) Определяем опорные точки линии пересечения
2) Находим их горизонтальные проекции
3) Рассекаем

В этом случае призму можно рассматривать, как три плоскости α, β,

Точки 12 и 62 – пересечения плоскости γ с очерком проекции

МЕТОД СЕКУЩИХ СФЕР

Способ секущих сфер с постоянным центром для построения линии

Алгоритм
1) За центр выбираем точку пересечения осей.
2) С данной точки проводим

МЕТОД СЕКУЩИХ СФЕР

Каждая из этих поверхностей имеет семейство окружностей, являющихся линиями сечения их

Оси поверхностей G и Q параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются

Для точного построения линии пересечения поверхностей необходимо найти точки 9 и

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек

Теорема 1. Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской

Теорема 1

Теорема 1

Фронтальные проекции q2 сферы Q и W2 эллиптического цилиндра W,

Теорема 1

Плоскость σ, определяемая центром сферы С и осью i цилиндра,

Теорема 2

Теорема 2.(о двойном касании). Если две поверхности второго порядка имеют

Теорема 2

Теорема 2

Теорема 2

Например, по двум окружностям m и n пересекается сфера S

Теорема Монжа

Теорема 3. (теорема Г. Монжа). Если две поверхности второго порядка

Теорема Монжа

Теорема Монжа

В соответствии с этой теоремой линия пересечения конуса Σ и цилиндра

Теорема 4

Теорема 4. Если две поверхности второго порядка имеют общую плоскость

Теорема 4

Теорема 4