Алгебраические уравнения. (Лекция 1)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Алгебраические уравнения. (Лекция 1)

Содержание

2. 1. Задача 1 Два основных метода построения асимптотик: 1) метод итераций 2) метод асимптотических разложений
3. 2. Итерации Ocновной шаг метода – такая переформулировка исходной задачи, которая будет базисом итерационного процесса Итерационный
4. 3. Асимптотическое разложение Полагаем и находим невозмущенные корни Ищем разложение вблизи в виде ряда по степеням
5. 4. Важный момент Когда мы приравниваем коэффициенты при различных степенях к нулю, мы на самом деле
6. Ищем разложение в виде ряда по степеням Подставляем разложение в исходное уравнение Сравниваем коэффициенты при различных
7. 6. Задача 2: сингулярность У квадратного уравнения два корня. Куда делся второй? Он убежал на бесконечность.
8. 7. Задача 2: балансы в уравнении Вычисляя , мы по существу заявили, что главными членами в
9. Ищем разложение в виде ряда по степеням Подставляем разложение в исходное уравнение Сравниваем коэффициенты при различных
10. 9. Важные моменты Стандартная процедура начинается с нахождения доминирующих членов, определяющих баланс в уравнении. После того
11. 10. Еще раз о перенормировках Как найти все полезные перенормировки? Найти все возможные балансы! б) дает
12. 11. Задача 3: Нецелые степени ? Причина трудности: Надо было раскладывать по дробным степеням
13. 12. Задача 3: Правильное ФАР
14. 13. Задача 3: Поиск верного ФАР то Невозможно т.к. то то Невозможно т.к.
15. 14. Важный момент В ряде случаев структура ФАР не может задаваться заранее, но должна определяться в
16. 15. Итерации: задача 2 Переформулировка Итерационный процесс и начальное приближение 1-я итерация 2-я итерация Переформулировка Итерационный
17. 16. Итерации: задача 3 1-я итерация 2-я итерация Переформулировка
18. 17. Итерации: почему это работает? - исходное уравнение Итерации будут уменьшать ошибку при Задача 3 -
20. Скачать презентацию

Слайд 2

1. Задача 1
Два основных метода построения асимптотик:
1) метод итераций
2) метод

асимптотических разложений

Слайд 3

2. Итерации
Ocновной шаг метода – такая переформулировка исходной задачи, которая будет

базисом итерационного процесса
Итерационный процесс и начальное приближение
1-я итерация
2-я итерация

Слайд 4

3. Асимптотическое разложение
Полагаем и находим невозмущенные корни
Ищем разложение вблизи в виде

ряда по степеням
Подставляем разложение в исходное уравнение
Сравниваем коэффициенты при различных степенях

ФАР

Слайд 5

4. Важный момент
Когда мы приравниваем коэффициенты при различных степенях к нулю,

мы на самом деле погружаем нашу частную задачу с данным значением , скажем 0.1, в семейство задач со всеми малыми значениями параметра . Если, как мы надеемся, зависимость корней от гладкая при , то вначале мы находим эту общую для всех малых зависимость, и только потом подставляем в нее наше конкретное численное значение.

Слайд 6

Ищем разложение в виде ряда по степеням
Подставляем разложение в исходное уравнение
Сравниваем

коэффициенты при различных степенях

5. Задача 2

Слайд 7

6. Задача 2: сингулярность
У квадратного уравнения два корня. Куда делся второй?
Он

убежал на бесконечность.

Мы имеем дело с сингулярно возмущенной задачей: предельная точка существенно отличается от предела

Интересные для практики задачи часто сингулярны

О задачах, не являющихся сингулярными, говорят как о регулярных

Слайд 8

7. Задача 2: балансы в уравнении
Вычисляя , мы по существу заявили,

что главными членами в уравнении являются и ; именно они балансируют друг друга, в то время как есть малая поправка, которая используется для итерационного улучшения решения. Но является ли это единственным возможным балансом? Рассмотрим остальные возможности.

1) Все три члена, очевидно, не могут быть одного порядка

2) Можно пытаться сбалансировать и . Но тогда есть большая величина порядка . При этом член , предполагающийся малым по сравнению с остальными много больше их. Его нечем сбалансировать

3) Последняя возможность – сбалансировать члены и . При этом есть величина порядка и действительно меньше чем и

Слайд 9

Ищем разложение в виде ряда по степеням
Подставляем разложение в исходное уравнение
Сравниваем

коэффициенты при различных степенях

8. Задача 2: перенормировка

приведет к
регулярному
корню

Т.к , то удобно перенормировать его, и переписать исходную задачу в виде

Слайд 10

9. Важные моменты
Стандартная процедура начинается с нахождения доминирующих членов, определяющих баланс

в уравнении. После того как они определены, все остальное выступает в роли малых корректирующих членов. Нам очень не повезло если более двух или трех членов уравнения будут одновременно балансовыми.
Найденный баланс подсказывает необходимые перенормировки некоторых из зависимых или независимых переменных

Слайд 11

10. Еще раз о перенормировках
Как найти все полезные перенормировки? Найти все

возможные балансы!

б)

дает регулярный корень

в)

г)

д)

Слайд 12

11. Задача 3: Нецелые степени
?
Причина трудности:
Надо было раскладывать по дробным

степеням

Слайд 13

12. Задача 3: Правильное ФАР

Слайд 14

13. Задача 3: Поиск верного ФАР
то
Невозможно т.к.
то
то
Невозможно т.к.

Слайд 15

14. Важный момент
В ряде случаев структура ФАР не может задаваться заранее,

но должна определяться в ходе стандартной асимптотической процедуры.

Слайд 16

15. Итерации: задача 2
Переформулировка
Итерационный процесс и
начальное приближение
1-я итерация
2-я итерация
Переформулировка
Итерационный процесс

и
начальное приближение

1-я итерация

2-я итерация

Регулярный корень

Сингулярный корень

Слайд 17

16. Итерации: задача 3
1-я итерация
2-я итерация
Переформулировка

Слайд 18

17. Итерации: почему это работает?
- исходное уравнение
Итерации будут уменьшать ошибку при

Задача 3

- итерационный процесс

- погрешность

Задача 2а

Алгебраические уравнения. (Лекция 1)

Содержание

1. Задача 1Два основных метода построения асимптотик: 1) метод итераций 2) метод

2. ИтерацииOcновной шаг метода – такая переформулировка исходной задачи, которая будет

3. Асимптотическое разложениеПолагаем и находим невозмущенные корниИщем разложение вблизи в виде

4. Важный моментКогда мы приравниваем коэффициенты при различных степенях к нулю,

Ищем разложение в виде ряда по степенямПодставляем разложение в исходное уравнениеСравниваем

6. Задача 2: сингулярностьУ квадратного уравнения два корня. Куда делся второй?Он

7. Задача 2: балансы в уравненииВычисляя , мы по существу заявили,

Ищем разложение в виде ряда по степенямПодставляем разложение в исходное уравнениеСравниваем

9. Важные моментыСтандартная процедура начинается с нахождения доминирующих членов, определяющих баланс

10. Еще раз о перенормировкахКак найти все полезные перенормировки? Найти все

11. Задача 3: Нецелые степени?Причина трудности: Надо было раскладывать по дробным

12. Задача 3: Правильное ФАР

13. Задача 3: Поиск верного ФАРтоНевозможно т.к.тотоНевозможно т.к.

14. Важный моментВ ряде случаев структура ФАР не может задаваться заранее,

15. Итерации: задача 2ПереформулировкаИтерационный процесс и начальное приближение1-я итерация2-я итерацияПереформулировкаИтерационный процесс

16. Итерации: задача 31-я итерация2-я итерацияПереформулировка

17. Итерации: почему это работает?- исходное уравнениеИтерации будут уменьшать ошибку при

Похожие презентации

1. Задача 1
Два основных метода построения асимптотик:
1) метод итераций
2) метод

2. Итерации
Ocновной шаг метода – такая переформулировка исходной задачи, которая будет

3. Асимптотическое разложение
Полагаем и находим невозмущенные корни
Ищем разложение вблизи в виде

4. Важный момент
Когда мы приравниваем коэффициенты при различных степенях к нулю,

Ищем разложение в виде ряда по степеням
Подставляем разложение в исходное уравнение
Сравниваем

6. Задача 2: сингулярность
У квадратного уравнения два корня. Куда делся второй?
Он

7. Задача 2: балансы в уравнении
Вычисляя , мы по существу заявили,

Ищем разложение в виде ряда по степеням
Подставляем разложение в исходное уравнение
Сравниваем

9. Важные моменты
Стандартная процедура начинается с нахождения доминирующих членов, определяющих баланс

10. Еще раз о перенормировках
Как найти все полезные перенормировки? Найти все

11. Задача 3: Нецелые степени
?
Причина трудности:
Надо было раскладывать по дробным

13. Задача 3: Поиск верного ФАР
то
Невозможно т.к.
то
то
Невозможно т.к.

14. Важный момент
В ряде случаев структура ФАР не может задаваться заранее,

15. Итерации: задача 2
Переформулировка
Итерационный процесс и
начальное приближение
1-я итерация
2-я итерация
Переформулировка
Итерационный процесс

16. Итерации: задача 3
1-я итерация
2-я итерация
Переформулировка

17. Итерации: почему это работает?
- исходное уравнение
Итерации будут уменьшать ошибку при