Понятие предела функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функции

Август 8, 2022

Главная
Математика
Понятие предела функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функции

Содержание

2. Определение 1: Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x0. Число A
3. Геометрическая иллюстрация определения предела функции при
4. Определение 2: Число A называется пределом функции y = f (x) при , если для любого
5. Геометрическая иллюстрация определения предела функции при y= f (x)
6. Односторонние пределы Число A1 называется левосторонним пределом функции y = f (x) при x→x0 , если
7. РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ A1 ≠ A2 ≠ f (x0) A1 = f (x0) ≠ A2 A1 ≠
8. Теорема (существования предела) Для того, чтобы функция y = f (x) при x→x0 имела пределом число
9. Бесконечно малая функция (БМФ) Определение. Функция α = α (x) при x → x0 называется бесконечно
10. Сравнение БМФ Определение 1. Две БМФ α1(x) и α2(x) называются эквивалентными при x→x0 , если выполняется
11. Бесконечно большая функция (ББФ) Определение. Функция β = β (x) при x → x0 называется бесконечно
12. Связь ББФ и БМФ Если α = α (x) – БМФ при x → x0 ,
14. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.
15. Основные теоремы о пределах Теорема 1. Всякая функция y = f (x) при x→x0 может иметь
16. ТЕОРЕМА 3. Замечательные пределы Первый замечательный: (раскрывает неопределенность 0/0) Второй замечательный: (раскрывает неопределенность )
17. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Пусть х стремится к х0 или к ± ∞
18. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ Используя правило предельного перехода вычисляем предел функции, подставляя в нее предельное значение
19. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ Если находим предел дробного выражения, в числителе и знаменателе которого многочлен и имеем неопределенность
20. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 2) Если находим предел дробно-иррационального выражения и имеем неопределенность 0 / 0, то для
21. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 3) Если находим предел дробного выражения в числители и знаменателе которого могут встречаться тригонометрические,
22. sin α(x) ~ α (x); 2) tg α(x) ~ α (x); arcsin α(x) ~ α (x);
23. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 4. Если находим предел дробно-рационального и дробно-иррационального выражения и имеем неопределенность ∞ / ∞,
24. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 5. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность 0∙ ∞ или ∞ -
25. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 6. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность , то для раскрытия данной
26. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 7. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность , то для раскрытия данных
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение 1:
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой

окрестности точки x0. Число A называется пределом функции y = f (x) при , если для любого достаточно малого ε > 0 существует такое δ > 0 , что из выполнение условия следует выполнение условия . Причем x0 – предельное значение аргумента и . Предел обозначается:

Слайд 3

Геометрическая иллюстрация определения предела функции при

Слайд 4

Определение 2:
Число A называется пределом функции y = f (x)

при , если для любого достаточно малого ε > 0 существует такое M > 0 , что всех выполняется условие: .
Причем – предельное значение аргумента. Предел обозначается:

Слайд 5

Геометрическая иллюстрация определения предела функции при
y= f (x)

Слайд 6

Односторонние пределы
Число A1 называется левосторонним пределом функции y = f (x)

при x→x0 , если предел берется при приближении x к x0 слева . Левосторонний предел функции записывается в виде :

Число A2 называется правосторонним пределом функции y = f (x) при x→x0 , если предел берется при приближении x к x0 справа. Правосторонний предел функции записывается в виде :

Слайд 7

РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙ
A1 ≠ A2 ≠ f (x0)
A1 = f (x0) ≠

A1 ≠ f (x0) = A2

f (x0) •

•

f (x0)

•

f (x0)

•

Слайд 8

Теорема (существования предела)
Для того, чтобы функция y = f (x) при

x→x0 имела пределом число A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

Слайд 9

Бесконечно малая функция (БМФ)
Определение. Функция α = α (x) при x

→ x0 называется бесконечно малой функцией, если выполняется условие:

Свойства БМФ
Сумма конечного числа БМФ при x→x0 является БМФ.
Произведение двух БМФ при x→x0 является БМФ.
Произведение БМФ на ограниченную функцию при x→x0 является БМФ.
Частное от деления БМФ на ограниченную функцию при x→x0 является БМФ.

Слайд 10

Сравнение БМФ
Определение 1. Две БМФ α1(x) и α2(x) называются эквивалентными

при x→x0 , если выполняется условие:
Определение 2. Если для двух БМФ α1(x) и α2(x)
выполняется условие:
где с ≠ 0, с ≠ 1, с ≠ ∞, то говорят, что эти БМФ имеют одинаковый порядок малости.
Определение 3. Если для двух БМФ α1(x) и α2(x)
выполняется условие: то говорят, что α1(x)
имеет более высокий порядок малости, чем α2(x) .

Слайд 11

Бесконечно большая функция (ББФ)
Определение. Функция β = β (x) при x

→ x0 называется бесконечно большой функцией, если выполняется условие:

Свойства БМФ
Сумма конечного числа ББФ при x→x0 является ББФ.
Произведение двух ББФ при x→x0 является ББФ.
Произведение ББФ на ограниченную функцию при x→x0 является ББФ.
Частное от деления ББФ на ограниченную функцию при x→x0 является ББФ.

Слайд 12

Связь ББФ и БМФ
Если α = α (x) – БМФ при

x → x0 , то:

Если β = β (x) – ББФ при x → x0 , то:

Слайд 13

Слайд 14

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.

Слайд 15

Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Всякая функция y = f

(x) при x→x0 может иметь не более одного предела.
Теорема 2 (правила предельного перехода). Если две функции y = f (x) и y = g (x) имеют пределы при x→x0 , то справедливы равенства:

Слайд 16

ТЕОРЕМА 3. Замечательные пределы
Первый замечательный:
(раскрывает неопределенность 0/0)
Второй замечательный:
(раскрывает неопределенность )

Слайд 17

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
Пусть х стремится к х0 или к ± ∞

Слайд 18

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙ
Используя правило предельного перехода вычисляем предел функции, подставляя

в нее предельное значение аргумента.
Если в результате вычислений получаем 0, ∞ или действительное число, то записываем ответ.
Если в результате вычислений имеем неопределенности:
0/0 , ∞ / ∞ ,∞ - ∞ , 0 ∙ ∞ , ,
то для их раскрытия используем искусственные приемы или правило Лопиталя.

Слайд 19

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Если находим предел дробного выражения, в числителе и знаменателе которого

многочлен и имеем неопределенность 0 / 0, то для раскрытия данной неопределенности:
а) числитель и знаменатель дроби разлагаем на множители;
б) сокращаем на критический множитель;
в) вычисляем предел.

Слайд 20

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
2) Если находим предел дробно-иррационального выражения и имеем неопределенность 0

/ 0, то для раскрытия данной неопределенности:
а) умножаем числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение;
б) применяем формулу разности квадратов (или суммы и разности кубов);
в) сокращаем на критический множитель;
г) вычисляем предел.

Слайд 21

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
3) Если находим предел дробного выражения в числители и знаменателе

которого могут встречаться тригонометрические, обратные тригонометрические, показательные, логарифмические функции и имеем неопределенность 0 / 0, то для раскрытия данной неопределенности:
а) воспользуемся таблицей эквивалентных БМФ;
б) сокращаем на критический множитель;
в) вычисляем предел.

Слайд 22

sin α(x) ~ α (x); 2) tg α(x) ~ α (x);
arcsin α(x)

~ α (x); 4) arctg α(x) ~ α (x);
ln (1+ α(x)) ~ α (x); 6) ~ α (x);
7) ~ α (x)lna; 8)1- cos α(x) ~

Таблица эквивалентных БМФ при α(х)→0

Слайд 23

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
4. Если находим предел дробно-рационального и дробно-иррационального выражения и имеем

неопределенность ∞ / ∞, то для раскрытия данной неопределенности:
а) в числителе и знаменателе дроби выносим переменную в наибольшей степени за скобку.
б) сокращаем на критический множитель;
в) вычисляем предел.
Замечание. Иначе раскрывать неопределенность данного вида можно, используя формулу:
Здесь Pm (x) и Qn(x) – рациональные (многочлены) или иррациональные выражения старших степеней m и n.

Слайд 24

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
5. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность 0∙

∞ или ∞ - ∞ , то для раскрытия данной неопределенности:
а) преобразуем алгебраическое выражение так, чтобы иметь неопределенности 0 / 0 или ∞ / ∞.
б) раскрываем данные неопределенности (смотри: п. 1, п. 3, п. 4);
в) вычисляем предел.

Слайд 25

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
6. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность ,

то для раскрытия данной неопределенности:
а) используем одну из формул второго замечательного предела:
б) вычисляем предел.
Замечание. Если при вычислении пределов имеем , где a >0, a ≠ 1 – действительное число, то целесообразно воспользоваться формулой:

Слайд 26

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
7. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность ,

то для раскрытия данных неопределенностей:
а) используем прием логарифмирования;
б) сводим к неопределенностям 0 / 0, ∞ / ∞;
в) применяем правило Лопиталя;
г) вычисляем предел.
Замечание. При вычислении пределов вида
где возможны варианты:
1. если , то ;
2. если , то .

Понятие предела функции. Бесконечно малая и бесконечно большая функции

Содержание

Определение 1: Пусть функция y = f (x) определена в некоторой

Геометрическая иллюстрация определения предела функции при

Определение 2: Число A называется пределом функции y = f (x)

Геометрическая иллюстрация определения предела функции при y= f (x)

Односторонние пределыЧисло A1 называется левосторонним пределом функции y = f (x)

РАЗРЫВЫ ФУНКЦИЙA1 ≠ A2 ≠ f (x0)A1 = f (x0) ≠

Теорема (существования предела)Для того, чтобы функция y = f (x) при

Бесконечно малая функция (БМФ)Определение. Функция α = α (x) при x

Сравнение БМФ Определение 1. Две БМФ α1(x) и α2(x) называются эквивалентными

Бесконечно большая функция (ББФ)Определение. Функция β = β (x) при x

Связь ББФ и БМФЕсли α = α (x) – БМФ при

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ.

Основные теоремы о пределах Теорема 1. Всякая функция y = f

ТЕОРЕМА 3. Замечательные пределыПервый замечательный:(раскрывает неопределенность 0/0)Второй замечательный:(раскрывает неопределенность )

НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬПусть х стремится к х0 или к ± ∞

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛОВ ФУНКЦИЙИспользуя правило предельного перехода вычисляем предел функции, подставляя

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙЕсли находим предел дробного выражения, в числителе и знаменателе которого

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ2) Если находим предел дробно-иррационального выражения и имеем неопределенность 0

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ3) Если находим предел дробного выражения в числители и знаменателе

sin α(x) ~ α (x); 2) tg α(x) ~ α (x);arcsin α(x)

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ4. Если находим предел дробно-рационального и дробно-иррационального выражения и имеем

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ5. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность 0∙

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ6. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность ,

РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ7. Если находим предел алгебраического выражения и имеем неопределенность ,

Похожие презентации