Построение графиков функций с помощью сдвигов и деформаций

деформаций (график сложной функции).
Применение метода сдвигов и деформаций при построении графиков тригонометрических функций.
Построение графиков функций, содержащих знак модуля: а) график функции у = f(|x|); б) график функции у = |f(x)|; в) график функции у = |f(|x|)|;
Упражнения.
Задача – исследование.
Тест.
Основные результаты.

исходя из графика
, строить графики следующих функций:

Венцом всех этих преобразований является график функции:

Кроме этого, Вы научитесь строить графики функций, содержащих знак модуля, которые обычно вызывают затруднения. Это функции трех видов:
В дальнейшем Вы рассмотрите поэтапное построение графиков всех этих функций и примените полученные знания при выполнении упражнений.

График функции у=f(x+a) получается из графика функции у=f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на |а| единиц масштаба влево или вправо по оси Х. Причем, если а<0, то сдвиг производится вправо, если а>0, то сдвиг производится влево. Каждой точке графика у=f(x) с координатами (х;у), ставится в соответствие точка с координатами (х+|а|;у).

Рис.1

получается из графика функции у=f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на |b| единиц масштаба вверх или вниз по оси У, причем если b>0, то сдвиг производится вверх, если b<0, то сдвиг производится вниз. Каждой точке графика функции y=f(x) с координатами (х;у) соответствует точка с координатами (х; у+|b|).

Рис.2

любое действительное число, кроме 0.
График функции у=mf(x) получается из графика функции у=f(x) с помощью преобразования растяжения по оси Х с коэффициентом m.
Отметим, что при этом преобразовании на месте остаются точки пересечения графика функции у=f(x) с осью Х, а ординаты точек графика у=f(x) увеличиваются или уменьшаются в m раз. Причем, если 0Если m – отрицательное число, то речь пойдет о построении графика функции у= - f(x). График функции у= - f(x) получен из графика функции у=f(x) с помощью преобразования осевой симметрии (ось симметрии – ось Х) ( рис.4).

Рис.4

Рис.3

f(x)

- f(x)

получается из графика функции у=f(x) с помощью сжатия к оси Y с коэффициентом k (рис.5). Отметим, что при этом преобразовании на месте остается точка пересечения графика функции у=f(x) с осью Y.
Причем, если 0

Рис.6

Рис.5

функции используются для описания колебательных процессов. Этот важнейший процесс описывается формулой:

- уравнение гармонических колебаний.

имеют определен-

ный физический смысл:

амплитуда колебаний ( – А, если А<0);

частота колебаний;

начальная фаза колебаний.

Рассмотрим уравнение вида:

Чтобы построить график этой функции, нужно над полуволной синусоиды осуществить следующие преобразования:
Сжать ее к оси Y с k=2.
Растянуть от оси X с k=3.
Сжатую и растянутую полуволну сдвинуть вдоль оси Х на влево.
Построить полуволну синусоиды, симметрично полученной относительно оси Х.
Сдвинуть полученную полуволну синусоиды вверх на 2 единицы масштаба.
С помощью полученной полуволны получить искомый график.

и знать виды простейших графиков, изучаемых в школе. Так, для построения графика функции у = f(|x|) на основании модуля имеем:

если х

если х < 0.

Следовательно, график функции y=f(|x|) состоит из двух графиков: y=f(x) – в правой полуплоскости, y=f(-x) – в левой полуплоскости.

Правило 1. Если функция y=f(|x|) – четная, то для построения ее графика достаточно построить график функции y=f(x) для всех х из области определения и отразить полученную часть симметрично оси ординат.

Знание этого правила облегчает построение графиков функций вида y=f(|x|).

всех х из области определения, надо ту часть графика функции y=f(x), которая располагается ниже оси абсцисс (f(x)<0), отразить симметрично этой оси.
Таким образом, график функции y=|f(x)| расположен только в верхней полуплоскости.
Пример:

Строим график функции и применяем симметрию.

Искомая функция

Рис.13

Рис.14

Рис.15

y=|f(|x|)|, надо сначала построить график функции y=f(x) при x>0, затем при x<0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Y, а затем на интервалах, где f(|x|)<0, построить изображение, симметричное графику f(|x|) относительно оси Х.
Пример. Построить график функции y=|sin |x||.
Построим график функции y=sin x, (рис.16)
Построим график функции y=sin |x|, (рис.17)
Построим график функции y=|sin |x||,(рис.19)

Рис.16

Рис.17

Рис.18

Рис.19

Искомая функция

цветом с легендой в программе AGRAPHER. 3) Сохранить график в своей папке под именем «График №…».

«Запомните, друзья, Суть истины такой Теория мертва без практики живой»

«Сложность задач повышаем Решенье найти предлагаем»

«В задачах тех ищи удачу Где получить рискуешь сдачу»

Отображаем, двигаем, сжимаем Графики мы точно знаем!

Дана функция .

В программе AGRAPHER:

Осуществите осевую симметрию графика относительно оси Х.
Выполните сдвиг графика на 2 единицы вверх.
Выполните сдвиг графика на 1 единицу влево.
Произведите сжатие графика в 2 раза к оси Y.
Отразите ту часть графика, которая располагается ниже оси абсцисс, симметрично этой оси.

Результат построения сохраните в своей папке под именем «Исследование».