Презентация по математике "Прямая и обратная пропорциональные зависимости" - скачать бесплатно

пройденное
им расстояние за любой отрезок времени:

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Прямо пропорциональные
величины

Данные этой таблицы подчиняются зависимости:
если время увеличить (уменьшить)
в некоторое число раз,
то и расстояние увеличится (уменьшится)
в это же число раз.

Данные этой таблицы подчиняются зависимости:
если время увеличить (уменьшить) в некоторое число раз, то и расстояние увеличится (уменьшится) в это же число раз.
то есть связь
между значениями времени и значениями расстояния можно записать в виде пропорции:

в виде пропорции:

собой так,
что с увеличением (уменьшением) одной в несколько раз
вторая увеличивается (уменьшается)
во столько же раз,
то такие величины называются
прямо пропорциональными.

двух значений
первой величины равно отношению соответствующих значений
второй величины.

Примеры
– при постоянной скорости
– при постоянном времени

его стоимость при постоянной цене

скорость и длина пути при постоянном времени

длина прямоугольника и его площадь при постоянной ширине

объём параллелепипеда и площадь его основания
при постоянной высоте

величина дроби и её числитель при постоянном знаменателе

объём выполненной работы и затраченное на неё время
при постоянной производительности труда

производительность труда и объём выполненной работы
при постоянном времени

длина пути, проходимого равномерно движущимся телом,
и время его движения

км.
Требуется узнать, какое расстояние она пройдёт
за 6 ч, если скорость останется неизменной.

Сначала узнаем, во сколько раз увеличится время движения:
6 : 2 = 3 раза.

Следовательно, путь так же увеличится в три раза:
120 · 3 = 360 (км).

Метод 1

км.
Требуется узнать, какое расстояние она пройдёт
за 6 ч, если скорость останется неизменной.

Условие этой задачи можно записать так:

Одинаково направленные стрелки показывают,
что величины прямо пропорциональны, то есть отношение значений расстояния 120 : х
равно отношению
соответствующих значений времени 2 : 6.

Метод 2

км.
Требуется узнать, какое расстояние она пройдёт
за 6 ч, если скорость останется неизменной.
Составим пропорцию: .

Метод 2

Теперь решим её:

пропорциональны,
то их частное –
величина постоянная,
и наоборот,
если частное двух величин постоянно, то эти величины прямо пропорциональны.

при перечислении
пар прямо пропорциональных величин
обычно упоминается условие постоянства некоторой третьей величины.

Проанализировав пары известных
прямо пропорциональных величин,
можно обнаружить третью величину
(частное этих величин) и убедиться,
что она постоянна.

Проведём рассуждение,
доказывающее в общем виде утверждение
о постоянности частного
прямо пропорциональных величин*.

a и b –
прямо пропорциональны.

Возьмём конкретное значение a1 величины a
и соответствующее ей значение b1 величины b.

Если a1 увеличить в k раз и получить
a2 = k · a1,
то b1 тоже увеличится в k раз и получится
b2 = k · b1.

частные
и убедимся, что они равны.

a1

b1

=

a2

b2

Действительно:

a2

b2

=

k · a2

k · b2

=

a1

b1

И наоборот,
предположим, что частное величин a и b постоянно, скажем,

a

b

=

m

a2 – два значения величины a;
а так же b1 и b2 – соответствующие им
значения величины b.

Убедимся, что если
a2 = k · a1,
то и b2 = k · b1.

Так как

a1

b1

a2

b2

=

m и

=

m, то .

a1

b1

=

a2

b2

Поменяем местами a1 и b2, получим

b2

b1

=

a2

a1

= k · b1,
в чём и требовалось убедиться.

a2

a1

b2

b1

=

k, то и

=

k

Можно утверждать следующее:

Если величины a и b прямо пропорциональны, то они связаны между собой формулой
или a = m · b,
где m – некоторая постоянная величина.

a

b

=

m,

Зависимость скорости и времени движения
на этом отрезке пути задана таблицей:

Данные таблицы подчиняются зависимости:
если скорость движения уменьшить (увеличить) в некоторое число раз, то время движения увеличится (уменьшится) во столько же раз.

Обратно пропорциональные
величины

в виде пропорции:

собой так,
что с увеличением (уменьшением) одной в несколько раз
вторая уменьшается (увеличивается)
во столько же раз,
то такие величины называются
обратно пропорциональными.

значений
первой величины равно обратному отношению соответствующих значений
второй величины.

Пример
– при неизменном расстоянии

Обратно пропорциональные
величины

его цена
при одинаковой стоимости покупки

скорость и время движения равномерно движущегося объекта при одинаковой длине пути

производительность труда и время работы
при одинаковом объёме работы

число рабочих и время выполнения ими заданной работы
при одинаковой производительности труда всех рабочих

величина дроби и её знаменатель при постоянном числителе

по некоторому участку пути со скоростью 50 км/ч. Требуется узнать, за какое время она пройдёт этот же участок пути, если её скорость будет 100 км/ч.

Сначала узнаем, во сколько раз увеличится скорость движения:
100 : 50 = 2 раза.

Следовательно, время движения уменьшится в 2 раза
и станет равным:
2 : 2 = 1 ч.

Метод 1

направленные стрелки показывают,
что величины обратно пропорциональны, то есть
отношение значений скорости 50 : 100
равно обратному отношению
соответствующих значений времени х : 2.

Пример
Машина затратила 2 часа на движение по некоторому участку пути со скоростью 50 км/ч. Требуется узнать, за какое время она пройдёт этот же участок пути, если её скорость будет 100 км/ч.

Метод 2

затратила 2 часа на движение по некоторому участку пути со скоростью 50 км/ч. Требуется узнать, за какое время она пройдёт этот же участок пути, если её скорость будет 100 км/ч.

Метод 2

пропорциональны,
то их произведение –
величина постоянная,
и наоборот,
если произведение двух величин постоянно,
то эти величины обратно пропорциональны.

величины.
Рассмотрим произведение этих величин: v · t.
По известной нам формуле v · t = S,
а по условию S – величина постоянная.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Характеристическое свойство обратно пропорциональных величин

Пример 1

S и убедимся, что длины их катетов а и b – обратно пропорциональные величины.
Вспомним формулу площади прямоугольного треугольника:
отсюда а · b = 2S, то есть произведение катетов есть величина постоянная, значит,
они обратно пропорциональны.

Прямая и обратная пропорциональные зависимости

Характеристическое свойство обратно пропорциональных величин

Пример 2

при перечислении
пар обратно пропорциональных величин
обычно упоминается условие постоянства некоторой третьей величины.

Проанализировав пары известных
Обратно пропорциональных величин,
можно обнаружить третью величину
(частное этих величин) и убедиться,
что она постоянна.

Проведём рассуждение,
доказывающее в общем виде утверждение
о постоянности произведения
обратно пропорциональных величин*.

a и b –
Обратно пропорциональны.

Возьмём конкретное значение a1 величины a
и соответствующее ей значение b1 величины b.

Если a1 увеличить в k раз и получить
a2 = k · a1,
то b1 уменьшится в k раз и получится
b2 =

b1

k

· b1 и a2 · b2
равны.

Действительно:

a2 · b2 = k · a1 ·

=

k · a1 · b1

k

И наоборот,
предположим, что произведени величин a и b постоянно, скажем,
a · b = n.

b1

k

=

a1 · b1

a2 – два значения величины a;
а так же b1 и b2 – соответствующие им
значения величины b.

Убедимся, что если
a2 = k · a1,

Так как
a1 · b1 = n и a2 · b2 = n, то a1 · b1 = a2 · b2.

b1

k

то b2 = .

и требовалось убедиться.

a1 · b1

a2

=

Можно утверждать следующее:

Если величины a и b –
обратно пропорциональны, то они связаны между собой формулой
a · b = n,
где n – некоторая постоянная величина.

n

b

=

или a ,

b2=

a1 · b1

k · a1

=

b1

k

другая,
то это не обязательно означает,
что они прямо пропорциональны.
Нужно ещё, чтобы увеличение обеих величин происходило в одинаковое число раз.

С увеличением одного из слагаемых
Увеличивается и сумма,
однако было бы ошибочно считать,
что сумма прямо пропорциональна этому слагаемому, так как они увеличиваются не в одинаковое число раз.

Пример