Приложения определенного интеграла. Вычисление объема тела. Вычисление площади поверхности вращения. (Семинар 20)
- Главная
- Математика
- Приложения определенного интеграла. Вычисление объема тела. Вычисление площади поверхности вращения. (Семинар 20)
Содержание
- 2. 1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений. Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси
- 3. 3. Вычисление площади поверхности вращения Если дуга гладкой кривой вращается вокруг оси Ох, то площадь поверхности
- 4. 3. Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг оси ОХ (и ОУ) Решение.
- 6. Скачать презентацию
1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.
Если площадь сечения
1. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений.
Если площадь сечения
2. Вычисление объема тела вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции aABb, ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси ОХ и двумя вертикалями x=a, x=b вычисляется по формуле
Объем тела, образованного вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции cCDd, ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси ОУ и двумя горизонталями y=c, y=d вычисляется по формуле
3. Вычисление площади поверхности вращения
Если дуга гладкой кривой вращается вокруг оси
3. Вычисление площади поверхности вращения
Если дуга гладкой кривой вращается вокруг оси
Если задана параметрическими уравнениями , то
Примеры с решениями.
1. Найти объем пирамиды с основанием В и высотой Н
Решение
Ось ОХ перпендикулярна поверхности В и направлена из точки О. S – площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся на расстоянии х от вершины. Так как площади поперечных сечений пирамиды относятся как квадраты расстояний их от вершины, то имеем
(известная формула)
2. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной линиями
Решение
Пределы интегрирования a=1,b=6, функция
3. Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг
3. Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса вокруг
Решение.
Так как эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси ОХ площади ОАВ, равной ¼ площади эллипса, и полученный результат удвоить.
. Окончательно и соответственно
4. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги синусоиды y=sin2x от x=0 до
Решение
Находим y’=2cos2x; тогда
Произведем замену переменной:
Найдем пределы интегрирования по t:
Таким образом,