- Главная
- Математика
- Производная и её приложение
Содержание
- 2. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Пусть точка движется с переменной скоростью по закону S(t) В момент времени t
- 3. Если Δt → 0, то средняя скорость приближается к некоторому числу, которое называется мгновенной скоростью и
- 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Угловой коэффициент прямой Пусть функция y = f(x) задана графически. Точка М принадлежит
- 5. -это угол между секущей MN и положительным направлением оси OX; из . Если Δx→ 0,то N→
- 6. Тангенс угла . Значит, геометрический смысл производной состоится в том, что значение производной функции y =
- 7. История дифференциальных исчислений О происхождении терминов и обозначений. Раздел математики, в котором изучаются производные и их
- 8. Из истории дифференциального исчисления. 1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII
- 9. Основная трудность состояла в том , что точные определения таких ключевых понятий, как предел, непрерывность ,
- 10. ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ Лагранж, Жозеф Луи (1736–1813), французский математик и механик. Родился 25 января 1736 в
- 11. В Берлине была подготовлена его знаменитая Аналитическая механика (Mecanique analytique), опубликованная в Париже в 1788. Эта
- 12. ВЕЙЕРШТРАСС Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) В детстве Карл интересовался лирикой, стремился изучать
- 13. В католической прогимназии небольшого городка Дрейч-Крон он получил должность штатного учителя. Кроме математики приходилось преподавать физику,
- 14. 11 ноября 1856г. Вейерштрасса назначили на должность экстраординарного профессора. В 1861г. избрали членом Баварской академии наук.
- 15. БЕРНУЛЛИ Иоганн I Бернулли Иоганн I (1667-1748) Род Бернулли ведет сове начало из Фландрии. В конце
- 16. В 1690г. Иоганн отправляется в путешествие. После Женевы он едет в Париж. В литературном салоне известного
- 17. КОШИ, ОГЮСТЕН ЛУИ Французский математик. Родился 21 августа 1789 в Париже. Первым учителем мальчика был его
- 18. Коши впервые дал четкое определение основным понятиям математического анализа – пределу, непрерывности функции, сходимости ряда и
- 19. ЛОПИТАЛЬ де Гиймон Франсуа Гиймон Франсуа Антуан Лопиталь родился в 1661г. в Париже в богатой и
- 20. “Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона ,крещен 20 августа 1601 г. Крестный
- 21. В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену Мерсенну:”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен
- 23. Скачать презентацию
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть точка движется с переменной скоростью по закону
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Пусть точка движется с переменной скоростью по закону
В момент времени t тело прошло путь S(t). В момент времени (t+Dt) тел
о прошло путь S(t+Dt). За время Dt тело прошло путь DS.
DS = S(t+Dt)-S(t).
Средняя скорость точки за время Dt:
.
Если Δt → 0, то средняя скорость приближается к некоторому числу,
Если Δt → 0, то средняя скорость приближается к некоторому числу,
.
Физический смысл производной состоит в том, что производная функции в точке равна мгновенной скорости изменения функции в этой точке.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Угловой коэффициент прямой
Пусть функция y = f(x)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
Угловой коэффициент прямой
Пусть функция y = f(x)
МТ- касательная к графику функции МN- секущая. Дадим аргументу приращение Dx. Точка N принадлежит графику функции y = f(x) и имеет координаты N(x+Dx; f(x+Dx)).
-это угол между касательной МТ и положительным направлением оси OX.
-это угол между секущей MN и положительным направлением оси OX;
из
.
-это угол между секущей MN и положительным направлением оси OX;
из
.
Если Δx→ 0,то N→ M и
Вывод: Если график y = f(x) в точке (x; f(x)) имеет касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то функция y = f(x) имеет в этой точке производную. Верно и обратное утверждение.
Тангенс угла
. Значит, геометрический смысл производной состоится в том, что
Тангенс угла
. Значит, геометрический смысл производной состоится в том, что
Тангенс угла
называется угловым коэффициентом касательной.
Обозначается:
.
История дифференциальных исчислений
О происхождении терминов и обозначений.
Раздел математики, в котором изучаются
История дифференциальных исчислений
О происхождении терминов и обозначений.
Раздел математики, в котором изучаются
Производная определяется во всех руководствах именно как предел. Пишут f (хо) = lim вместо принятого выше обозначения
Обозначение lim - сокращение латинского слова limes ( межа, граница); уменьшая, например, , мы устремляем значения к «границе» Г (хо).
Термин предел ввел Ньютон. Примером бесконечно малой может служить функция от , поскольку —>0. Вообще, если lim (х) =0, говорят, что - бесконечно малая. Бесконечно малые играют важную роль в математическом анализе, который поэтому часто называют также анализом бесконечно малых.
Заметим наконец, что слово « экстремум»№ происходит от латинского extremum ( крайний). Махimum переводится как наибольший, а minimum- наименьший.
Из истории дифференциального исчисления.
1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно
Из истории дифференциального исчисления.
1) Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно
конце XVII столетия.
Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н. Тартальи-здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда. И. Кеплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса. К рассмотрению касательной и нормали( так называется прямая, перпендикулярная касательной и проведенная в точке касания) Декарт пришел в ходе изучения оптических свойств линз. С помощью методов аналитической геометрии и изобретенного им метода неопределенных коэффициентов он сумел решить задачи о построении нормалей к ряду кривых, в том числе эллипсу. В 1629 г. П. Ферма предложил правила нахождения экстремумов многочленов. Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал две основные проблемы анализа:
1. Длина проходимого пути постоянно (т.е. в любой момент времени ) дана; требуется найти скорость движения в предложенное время.
2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути.
Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления. Вторая относится к интегральному исчислению
А. Лопиталь, который учился у Бернулли, издал уже 1696 году первый печатный курс исчисления «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий», способствовавший распространению новых методов.
С числовыми и функциональными рядами работал не только Ньютон, но и его предшественники, и поэтому несколько несправедливо название формула Тейлора ( Б. Тейлор (1685-1731)- английский математик, опубликовавший ее в 1715 году.), принятое для следующего замечательного соотношения:
( здесь (х)- значение полученное n-кратным дифференцированием функции f в точке х0, а n!=1 2...п.
Основная трудность состояла в том , что точные определения таких ключевых
Основная трудность состояла в том , что точные определения таких ключевых
Решительный шаг к созданию прочного фундамента анализа был сделан в 20-е годы прошлого , века французским математиком О. Коши (1789-1857), предположившим точные определения пределов функции и последовательности и на их основе доказавшим многие фундаментальные теоремы анализа. Несколько раньше (1821г.) определения предела и непрерывности , целый ряд других замечательных результатов ( в том числе знаменитый пример функции, непрерывной на промежутке, но не имеющий производной ни в одной его точке) получил чешский математик Б. Больцано (1781-1848), но его работы стали известны много позднее.
Определение предела функции по Коши формулируется так: «Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а (т.е. lim f(x)=A), если для любого числа 0 , можно подобрать такое число,что f(x)-A для всех х, удовлетворяющих неравенству
Опираясь на это определение, уже нетрудно дать определение непрерывности в точке: функция f непрерывна в точке хо если lim f(x)=f(xo).
Число А является пределом последовательности , если для любого существует номер N , такой, что при всех n N верно неравенство.
Яркие характеристики глубины переворота а математике, происшедшего bXVII в., дали Карл Маркс и Фридрих Энгельс. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции , бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как « Мистический» .
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ
Лагранж, Жозеф Луи (1736–1813), французский математик и механик.
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ
Лагранж, Жозеф Луи (1736–1813), французский математик и механик.
В Берлине была подготовлена его знаменитая Аналитическая механика (Mecanique analytique), опубликованная
В Берлине была подготовлена его знаменитая Аналитическая механика (Mecanique analytique), опубликованная
В 1787, после кончины Фридриха II, Лагранж переехал в Париж и занялт один из постов в Парижской академии наук. Во время Французской революции он принял участие в работе комиссии, занимавшейся разработкой метрической системы мер и весов и введением нового календаря. В 1797, после создания Политехнической школы, вел активную преподавательскую деятельность, читал курс математического анализа. В 1795, после открытия Института Франции, заменившего Королевскую академию наук, стал главой его физико-математического класса.
Лагранж внес существенный вклад во многие области чистой математики, включая вариационное исчисление, теорию дифференциальных уравнений, решение задач на нахождение максимумов и минимумов, теорию чисел (теорема Лагранжа), алгебру и теорию вероятностей. В двух своих важных трудах – Теория аналитических функций (Thorie des fonctions analytiques, 1797) и О решении численных уравнений (De la rsolution des quations numriques, 1798) – он подытожил все, что было известно по этим вопросам в его время, а содержавшиеся в них новые идеи и методы нашли воплощение в работах многих выдающихся математиков 19 в.
Умер Лагранж в Париже 10 апреля 1813.
ВЕЙЕРШТРАСС Карл Теодор Вильгельм
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) В детстве
ВЕЙЕРШТРАСС Карл Теодор Вильгельм
Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) В детстве
В католической прогимназии небольшого городка Дрейч-Крон он получил должность штатного учителя.
В католической прогимназии небольшого городка Дрейч-Крон он получил должность штатного учителя.
11 ноября 1856г. Вейерштрасса назначили на должность экстраординарного профессора. В 1861г.
11 ноября 1856г. Вейерштрасса назначили на должность экстраординарного профессора. В 1861г.
В 1889г. был очень тяжелым. В феврале Вейерштрасс сильно заболел, только лежа он не чувствовал недомогания. 10 февраля 1891г. в возрасте 41 года С.В. Ковалевская умерла. Вейерштрасс был так потрясен известием о кончине своей ученицы, что родные стали беспокоиться за его жизнь. Среди венков, возложенных ан гроб Ковалевской, был венок из белых лилий с короткой надписью "Соне от Вейерштрасса". В период 1892-1896гг. Вейерштрасс занимался изданием своих трудов. В начале 1897г. он заболел гриппом, который перешел в воспаление легких. 19 февраля 1897г. он скончался.
БЕРНУЛЛИ Иоганн I
Бернулли Иоганн I (1667-1748) Род Бернулли ведет сове
БЕРНУЛЛИ Иоганн I
Бернулли Иоганн I (1667-1748) Род Бернулли ведет сове
В 1690г. Иоганн отправляется в путешествие. После Женевы он едет в
В 1690г. Иоганн отправляется в путешествие. После Женевы он едет в
В 1705г., после смерти Якова Бернулли, Иоганн возвращается в Базель и занимает там кафедру математики. Главный предмет его занятий - это приложение анализа к различным вопросам механики, физики и т.д. Осенью 1747г., когда Иоганну исполнилось восемьдесят лет, его здоровье стало сдавать. Но такова была привычка к труду, что он продолжал работать ежедневно до полуночи. 1 января 1748г. он скончался. К его портрету Вольтер написал четверостишие: Его ум видел истину, Его сердце познало справедливость. Он - гордость Швейцарии И всего человечества.
КОШИ, ОГЮСТЕН ЛУИ
Французский математик. Родился 21 августа 1789 в Париже.
КОШИ, ОГЮСТЕН ЛУИ
Французский математик. Родился 21 августа 1789 в Париже.
С 1813 Коши начал публиковать работы по математике. В 1816 был назначен членом Парижской Академии наук вместо Г.Монжа, уволенного по политическим причинам. В том же году мемуар Коши по теории волн на поверхности тяжелой жидкости получил первую премию на конкурсе по математике, и его автор был приглашен в качестве преподавателя сразу в три учебных заведения – Политехническую школу, Сорбонну и Коллеж де Франс. После революции 1830 Коши, верный королю Карлу X, уехал за границу, давал уроки математики, физики и химии внуку короля – герцогу Бордоскому. Во Францию Коши вернулся лишь в 1838, когда ему предложили занять кафедру в Политехнической школе, не требуя присягать на верность новому королю – Филиппу Орлеанскому. С тех пор ученый жил в Париже, занимаясь математикой.
Научные работы Коши посвящены арифметике, теории чисел, алгебре, математическому анализу, дифференциальным уравнениям, механике, математической физике и т.д. Всего Коши написал свыше 800 работ, полное собрание его сочинений содержит 27 томов.
Коши впервые дал четкое определение основным понятиям математического анализа – пределу,
Коши впервые дал четкое определение основным понятиям математического анализа – пределу,
ЛОПИТАЛЬ де Гиймон Франсуа
Гиймон Франсуа Антуан Лопиталь родился в 1661г.
ЛОПИТАЛЬ де Гиймон Франсуа
Гиймон Франсуа Антуан Лопиталь родился в 1661г.
Успехи, по-видимому, оставляли желать лучшего, во всяком случае к моменту знакомства с молодым Иоганном Бернулли Лопиталь сознавал себя не более чем начинающим учеником. Он просил нового знакомого прочитать ему курс лекций. Летом 1692г. в своем имении близ Вандома Лопиталь в течение четырех месяцев усиленно занимался с Иоганном Бернулли. Занятия были успешными. В 1693г. Лопиталь уже свободно владел новой отраслью. Он переписывается с Лейбницем и решает задачу, предложенную Бернулли: найти кривую, обладающую тем свойством, что длина касательной должна находиться в постоянном отношении к длине отрезка оси абсцисс, заключенного между точкой пересечения оси с касательной и точкой пересечения оси с кривой. Одновременно с Лопиталем опубликовали решения Якова Бернулли, Лейбниц, Гюйгенс. В 1693г. Лопиталя избрали членом Парижской академии наук.
В 1696г. вышло из печати главное творение его жизни - "Анализ бесконечно малых для познания кривых линий". В 1703г., 43 лет от роду Лопиталь скончался от апоплексического удара.
“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона ,крещен
“Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второго консулата города Бомона ,крещен
В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену
В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобию Марену
Интерес к математике обозначился у Ферма как-то неожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадает латинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлония о свойствах конических сечений. Ферма, полиглот, знаток права и античной филологии,вдруг задается целью полностью восстановить ход рассуждений знаменитого ученого. С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельно воспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии. Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая в геометрические построения древних, он совершает удивительное открытие: для нахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи. Первый систематический прием для отыскания экстремумов (от лат. extremum «крайнее») Ферма изложил в своей работе «Метод исследования максимумов и минимумов». Эта работа была частично опубликована в 1642-1644 гг., а полностью - в 1779г., после смерти ее автора. Из писем Ферма стало, однако, известно, что своим методом он владел уже в 1629г. Этот метод, имеющий инфинитезимальный характер (т.е. основанный на рассмотрении бесконечно малых), Ферма впервые применил к функции(1)1 Пусть есть бесконечно малое приращение независимой переменной; тогда новое значение функции (1) будет (2)Для выражения «принципа остановки», т.е. того факта, когда функция, достигая максимума или минимума, как бы останавливается в своем изменении(на современном языке - скорость изменения, т.е. производная, равна 0),Ферма приравнивает (1) и (2): (3)Раскрывая скобки и сокращая на h. Ввиду того что бесконечно малое h исчезает перед конечным (по существу это молчаливый предельный переход при [pic]), то Он быстро продвинулся дальше. Он нашел достаточные условия существования максимумов, научился определять точки перегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьего порядка. Еще несколько лет, и он находит новый чисто алгебраический метод нахождения квадратур для парабол и гипербол произвольного порядка (то есть интегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq = С), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения. Это был настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения с математическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.