Система задач на тему двугранный угол

Угол между плоскостями:

∠(α, β)

А

В

С

D

М

К

грани

ребро

Р

А

В

С

К

М

∠(α, β) =

D

∠АВСМ=

∠Р

Р

а) Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС, если в

Р

А

В

С

АВ=ВС

Н

=>

ВН ┴АС
РВ ┴ АВС

=>

РН ┴ АС

∠РАСВ = ∠РНВ

Р

А

С

В

О

К

ВК-медиана,

=>

ВО ┴АС
РО ┴ АВС

=>

РК ┴ АС

ΔАВС-правильный

ВК - высота

∠РАСВ =∠РКВ

с) Построить линейный угол двугранного угла с
ребром АС, если в

А

С

Р

В

О

Н

К

АВ=ВС

=>

КО ┴АС
РО ┴ АВС

=>

КР ┴ АС

ВН ┴АС

КО║ВН

∠РАСВ =∠РКО

А

Р

D

С

В

ВС ┴СD
РВ ┴ АВС

=>

РС ┴ СD

Значит:
∠ВСDР= ∠ВСР

АВСD-прямоугольник

ОͼАВ; (РО) ┴ (АВС).

е)Дан прямоугольник АВСD
и точка Р вне его

А

Р

D

С

В

О

Н

Значит:
∠ОСDР= ∠РНО
РО ┴ АВС

=>

РН ┴ СD

АD ┴СD
ОН║АD

ОН┴СD

=>

О – точка пересечения
диагоналей АВСD,
(РО) ┴ (АВС).

f)Дан прямоугольник АВСD

А

Р

D

С

В

О

Н

АD ┴СD
ОН║АD

ОН┴СD

=>

Значит:
∠ОСDР= ∠РНО
РО ┴ АВС

=>

РН ┴ СD

g) Дан ромб АВСD; (РС) ┴ (АВС).
Построить линейный угол
двугранного угла

Р

С

В

D

А

АВСD- ромб => СА┴ВD, СА∩ВD=О =>

ОС ┴ВD

Значит:
∠РВDС= ∠РОС
РС ┴ АВС

=>

РО

i) Дана трапеция АВСD; ∠ВАD=90º;
Построить линейный угол
двугранного угла с ребром

Р

D

В

С

А

ВА ┴АD
РВ ┴ АВС

=>

РА ┴ АD

Значит:
∠ВАDР= ∠ВАР

Р

D

В

С

А

Значит:
∠ВАDР= ∠ОКР

О

К

АВ ┴АD
ОК║АВ

ОК ┴АD

=>
РО ┴ АВС

=>

РК ┴ АD

В

D

С

А

Н

Р

ВН ┴АD
РВ ┴ АВС

=>

РН ┴ АD

Значит:
∠ВАDР= ∠ВНР

АВСD — равнобокая трапеция; АВ=СD, (РС) ┴ (АВС);
m) Dана трапеция АВСD.
Построить

С

А

В

D

Н

Р

СН ┴АD
РС ┴ АВС

=>

РН ┴ АD

Значит:
∠САDР= ∠СНР

Вычислительные задачи.

а) РАВС — пирамида;
найти величину двугранного угла
с ребром АС,

А

С

Р

В

АС ┴ВС
РВ ┴ АВС

=>

РС ┴ АС

Значит:
∠ВАСР= ∠ВСР

1)

С

В

Р

4

4

2) ВР=ВС => ΔСВР - равнобедренный,
∠С = ∠Р = 45°

Ответ: ∠ВСР

в) РАВС — пирамида;
найти величину двугранного угла
с ребром АС,

Р

А

В

С

Н

АС ┴ВН
РВ ┴ АВС

=>

РН ┴ АС

Значит:
∠ВАСР= ∠ВНР

1)

5

5

6

6

6

А

В

С

Н

5

5

6

3

3

2)

ΔАВС -равнобедренный,
ВН - высота,
значит: ВН- медиана,
АН=НС=3,
ΔВНС - прямоугольный,
ВН2=ВС2-НС2,
ВН=4

Р

А

В

С

Н

Значит:
∠ВАСР= ∠ВНР

1)

5

5

6

6

6

4

Р

Н

В

4

6

3) ΔРВН - прямоугольный,
tg ∠Н = РВ / ВН,
tg ∠Н =

с) РАВС — пирамида;
найти величину двугранного угла
с ребром АС,

Р

А

С

В

О

К

ВК - медиана,

=>

ВО ┴АС
РО ┴ АВС

=>

РК ┴ АС

ΔАВС -правильный

ВК - высота

∠РАСВ

С

В

К

О

А

2) ΔАВС - правильный,
О - точка пересечения
медиан, значит:
ОВ=2ОК.

Найдем ВК.
ΔВКС:
ВК2

Р

А

С

В

О

К

ВК - медиана,

=>

ВО ┴АС
РО ┴ АВС

=>

РК ┴ АС

ΔАВС -правильный

ВК - высота

∠РАСВ

3) ΔРОК - прямоугольный,
∠О = 90°, РО = ОК,
значит ∠Р

D) РАВС — пирамида;
найти величину двугранного угла
с ребром АС,

А

С

В

О

Н

К

1) ВН - высота
правильного
ΔАВС,

ВН┴АС
ОК║ВН

=>

ОК┴АС

В

А

С

Р

О

К

ОК ┴АС
РО ┴ АВС

=>

РК ┴ АС

∠РАСВ =∠РКО

2)

А

С

В

О

Н

К

3) ВН - высота
правильного
ΔАВС,

6

Найдем ВН.
ΔВНС:
ВН2 = ВС2-НС2;
ВН2 = 27;
ВН

А

С

В

О

Н

К

6

ВН =3√3

ΔАВН, О - середина АВ,
ОК║ВН => ОК -средняя линия,

О

К

Р

6

4) ΔРОК; ∠С = 90°,
tg ∠К = РО/ОК,
tg ∠К =

е) АВСD — прямоугольник;
ВD = 4√3 ;
(РВ) ┴ (АВС); РВ

В

Р

А

С

D

1) ∠РDСВ=60°

ВС ┴СD
РВ ┴ АВС

=>

РС ┴ СD

Значит:
∠РDСВ = ∠РСВ = 60°

ВD

В

Р

С

6

60°

2)

ΔРВС, ∠В = 90°,
tg ∠С = РВ/ВС,
√3 = 6/ВС,
ВС

В

Р

А

С

D

ВD = 4√3 ;

РВ = 6 ;

∠РСВ = 60°

6

60°

4√3

2√3

В

С

D

4√3

2√3

3) ΔВСD; ∠С = 90°,
СD2 = ВD2 - СD2;
СD2 = 16•3-4•3;
СD2

f) АВСD — прямоугольник;
площадь АВСD равна 48 ;
(РВ) ┴ (АВС);

В

Р

А

С

D

6

4

∠РDСВ - ?

1)

ВС ┴СD
РВ ┴ АВС

=>

РС ┴ СD

Значит:
∠РDСВ = ∠РСВ

S(АВСD)=48,
РВ

2) АВСD - прямоугольник

S(АВСD) = АВ•ВС = 48,
АВ = СD =

В

Р

А

С

D

6

12

3) ΔРВС; ∠В = 90°,
tg ∠С = РВ/ВС,
tg ∠С = 0,5

Ответ:
∠РDСВ

g) АВСD — ромб;
ВD = 4 ;
(РС) ┴ (АВС); РС

(РС) ┴ (АВС); РС = 8 ;
Двугранный угол с
ребром ВD

45°

Р

О

С

8

3) ΔРСО; ∠С = 90°,
∠О = 45° => ∠Р =

А

В

С

D

Sромба =d1 • d2:2

d1

d2

4

4)

d1 = 2ОС = 16,
d2 =

К) АВСD- параллелограмм;
∠АDС = 120º; АD = 8 ;
DС =6 ;

1)

А

В

С

8

120°

6

h

Sпарал-ма= a • b • sin∠(a,b)

S(АВСD) = 8 • 6 •

2)

A

B

C

D

P

H

(РС) ┴ (АВС); РС = 9 ;
Найти величину двугранного