Системы дифференциальных уравнений. (Лекция 2.13)

Июль 28, 2022

Главная
Математика
Системы дифференциальных уравнений. (Лекция 2.13)

Содержание

2. Примеры. 1) 2) Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при подстановке в уравнения превращает
3. Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе. Пример. Некоторые системы дифференциальных уравнений нельзя привести
4. Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе. Пример. Введем дополнительные
5. Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений
6. Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению. Пример Первое
7. Теорема. Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений имеет вид где - произвольные постоянные. могут входить не
8. Теорема. Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности
9. 12.4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений. Однородная система линейных дифференциальных уравнений где - непрерывные функции. 1) Если
10. 2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и то тоже является решением системы.
11. Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений есть сумма общего решения однородной системы и частного решения
12. При заданных начальных условиях можно получить частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подставить
13. 12.4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений Систему можно
14. Дифференцируя, получим Отсюда Чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, определитель системы равнялся
15. Предположим, что корни действительные и простые. Рассмотрим решение на примере системы трех уравнений. Пусть корень равен
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Примеры.
1) 2)
Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при

подстановке в уравнения превращает их в тождества.
Определение. Нормальной
системой дифференциальных
уравнений называется система
уравнений вида

Слайд 3

Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе.
Пример.
Некоторые системы дифференциальных

уравнений нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем.
Пример.

Слайд 4

Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена

к нормальной системе.

Пример.
Введем дополнительные функции
Тогда
Одно дифференциальное уравнение - го порядка может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений.
Пример.

Слайд 5

Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным

уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы.
Пример

Слайд 6

Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена

к одному дифференциальному уравнению.

Пример
Первое уравнение не зависит от остальных.

Слайд 7

Теорема.
Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений
имеет вид
где

- произвольные постоянные.
могут входить не во все уравнения.
Задание начальных условий
дает частное решение системы дифференциальных
уравнений

Слайд 8

Теорема.
Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со

своими частными производными в окрестности значений то в достаточно малом интервале существует единственная система функций
являющаяся решением системы и удовлетворяющая начальным условиям.

Слайд 9

12.4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений.
Однородная система линейных дифференциальных уравнений
где -

непрерывные функции.
1) Если известно частное решение системы линейных дифференциальных уравнений то тоже является решением системы, где - произвольная постоянная.

Слайд 10

2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и

то тоже является решением системы.

3) Если известны частных решений системы
…; то
(*)
тоже является решением системы линейных дифференциальных уравнений.
Совокупность n линейно независимых решений образует фундаментальную систему решений.
Решение (*) является общим решением однородной системы линейных дифференциальных уравнений.

Слайд 11

Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений
есть сумма общего решения

однородной системы и частного решения неоднородной системы.

Слайд 12

При заданных начальных условиях
можно получить частное решение системы

линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подставить начальные условия в общее решение системы (*). Получим алгебраическую систему уравнений
Решая систему, получим частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы система алгебраических уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы определитель

Слайд 13

12.4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим однородную систему

линейных дифференциальных уравнений
Систему можно свести к одному дифференциальному уравнению - го порядка. Будем искать частные решения в виде
где - неопределенные постоянные.

Слайд 14

Дифференцируя, получим
Отсюда
Чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно,

определитель системы равнялся нулю
Раскрыв определитель, получим характеристическое уравнение.

Слайд 15

Предположим, что корни действительные и простые. Рассмотрим решение на примере

системы трех уравнений. Пусть корень равен
Определитель системы равен нулю. Примем, что если - простой корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го порядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений следует из остальных. Решение системы зависит от одной произвольной постоянной.
Пусть первые два уравнения линейно независимы. Тогда одно из решений будет
Все остальные решения получаются умножением чисел
на одну и ту же произвольную постоянную.

Системы дифференциальных уравнений. (Лекция 2.13)

Содержание

Примеры.1) 2) Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при

Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе. Пример.Некоторые системы дифференциальных

Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена

Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным

Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена

Теорема. Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений имеет вид где

Теорема. Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со

12.4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений. Однородная система линейных дифференциальных уравненийгде -

2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и

Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравненийесть сумма общего решения

При заданных начальных условиях можно получить частное решение системы

12.4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим однородную систему

Дифференцируя, получим ОтсюдаЧтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно,