Статистические оценки

Одной из центральных задач математической статистики является задача оценивания теоретического распределения

Определение. Статистической оценкой параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее

Рассматривая выборочные значения как реализации случайных величин получивших конкретные значения в

2.1. Точечные оценки

Статистические оценки могут быть точечными и интервальными.
Точечные оценки представляют

Состоятельность

Определение. Оценка параметра называется состоятельной, если она сходится по вероятности к

Свойство состоятельности нужно проверять в первую очередь. Оно обязательно для

Несмещённость

Определение. Оценка параметра называется несмещенной, если , то есть математическое ожидание

Эффективность

Определение. Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она среди всех несмещенных

Можно показать, что:
- является состоятельной, несмещенной и эффективной оценкой в классе

- относительная частота появления события в независимых испытаниях является состоятельной, несмещенной

Для нахождения оценок неизвестных параметров используют различные методы. Наиболее распространенными являются:

2.2. Интервальные оценки

При выборке малого объема точечная оценка может существенно отличаться

Пусть найденная по данным выборки величина служит оценкой неизвестного параметра .

Определение. Доверительной вероятностью ( надежностью) оценки параметра называется вероятность , с

Неравенство можно записать
Определение. Доверительным интервалом называется интервал который покрывает неизвестный

2.2.1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известной

Чтобы подчеркнуть случайный характер обозначим его .
Примем без доказательства, что если

Из теории вероятности известна формула для нормально распределенной случайной величины :

Учитывая, что имеет нормальное распределение можно записать
или
Где
Из последнего

Пример 6. Случайная величина имеет нормальное распределение с известным средним квадратическим

2.2.2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания при неизвестной дисперсии
Пусть случайная величина

Введем случайную величину
где - исправленное среднее квадратическое отклонение случайной

Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с (n -1) степенью свободы.

Пример 7. Произведено пять независимых наблюдений над случайной величиной . Результаты

1. Находим :
2. Находим :

По таблице квантилей распределения Стьюдента (Приложение 3) для
и
находим

2.2.3. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения

1. Если

Пример 8. Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана

2. Другой вид доверительного интервала для оценки нормального распределения имеет вид:

Пример 9. Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана