Тела вращения

Цилиндр

Определение цилиндра как геометрического тела
Прямой цилиндр
Элементы цилиндра (поверхность, высота,

Определение цилиндра как геометрического тела

Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется тело, которое

Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов называются образующими цилиндра

Элементы цилиндра

Поверхность цилиндра
Высота цилиндра
Ось цилиндра
Радиус цилиндра

Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Она параллельна образующим.

Цилиндр как тело вращения

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной

На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны AB.

Свойства цилиндра

Основания цилиндра равны.
Основания цилиндра лежат в параллельных плоскостях.
Образующие цилиндра параллельны

Сечения цилиндра плоскостями

Сечение цилиндра плоскостью, параллельно его оси, представляет собой прямоугольник.

Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является круговым.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по

Если секущая плоскость не параллельна ни основанию, ни образующим, то в

Вписанная призма

Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, у которой плоскостями

Касательная плоскость к цилиндру

Касательной плоскостью к цилиндру называется плоскость, проходящая через

Описанная призма.

Призмой, описанной около цилиндра, называется призма, у которой плоскостями оснований

Площадь полной поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности
+
Две площади основания

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Т.к. площадь прямоугольника

Площадь основания

Площадь каждого основания равна

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле

Конус

Определение конуса как геометрического тела
Прямой конус
Элементы конуса (поверхность конуса, высота,

Конус

Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса

Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания,

Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания.

Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его

Сечения конуса плоскостями

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой

Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет

Усеченный конус

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него

Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью

Вписанная пирамида

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть

Касательная плоскость к конусу

Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая

Описанная пирамида

Пирамидой, описанной около конуса, называется пирамида, у которой основанием служит

Площадь полной поверхности конуса

Площадь боковой поверхности
+
Площадь основания

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.
Т.к. площадь кругового

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности конуса вычисляется по формуле:
где L

Шар

Определение шара
Элементы шара (шаровая поверхность, радиус, диаметр)
Определение шара как тела

Шар

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся

Любой отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, называется радиусом.
Отрезок,

Граница шара называется шаровой поверхностью, или сферой. Т.о., точками сферы являются

Сфера может быть получена вращением полуокружности ACB вокруг ее диаметра AB

Сечение шара плоскостью

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
Сечение шара диаметральной плоскостью

Симметрия шара
Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии.

Касательная плоскость к шару

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку –

Пересечение двух сфер

Теорема. Линия пересечения двух сфер есть окружность.