Теория и практика обработки результатов измерений в примерах

Июль 23, 2022

Главная
Математика
Теория и практика обработки результатов измерений в примерах

Содержание

2. Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые: иначе такое бросание будет пустою забавой. КОЗЬМА
3. I Д.Ю. Иванов, Т.Н. Князева, Ю.Н. Лазарева Введение в математическую обработку результатов эксперимента (БГТУ, 2018) II
4. Проблема эфира Проблема эфира, который заполняет всё мироздание, волновала науку с давних пор. В 1887 г.
5. Пусть, например, один из цехов завода производит стволы, а другой – патроны. Понятно, что и те,
6. Существует ли истинный размер? Тем не менее, всё же может возникнуть вопрос: а нельзя ли, если
7. Прямые и косвенные измерения Измерения, проведённые непосредственно с помощью тех или иных приборов, называются прямыми, а
8. В основе подхода к оценке результата прямых измерений и его случайной погрешности лежат достаточно простые и
9. Функция распределения Гаусса Параметр σ, задавая ширину распределения, определяет, тем самым, качество проведённых измерений: чем меньше
10. Функция распределения Гаусса В соответствии со смыслом функции распределения ρ(x) площадь фигуры, ограниченной участком кривой ρ(x)
11. Доска Гальтона (видео) Лучше всего влияние случайных причин на результат измерения можно продемонстрировать с помощью устройства,
12. Если в неизменных условиях произвести очень большое число измерений (в пределе – бесконечно большое), то, построив
13. Жизнь коротка, или распределение Стьюдента Основной недостаток теории Гаусса заключается в необходимости проведения очень большого числа
14. Последовательность обработки прямых измерений Определить среднее арифметическое по всей совокупности проведённых многократных измерений одной и той
15. Последовательность обработки прямых измерений И, наконец, определяем То есть среднюю абсолютную погрешность Δx результата x определяем,
16. Обработка ряда виртуальных измерений II, cтр. 13-18 (рассмотрены примеры)
17. Полная погрешность прямых измерений I, cтр. 15-18; II, стр. 10-13 (рассмотрены примеры)
18. Ошибка ошибки и корректная запись результата I, стр. 28; II, стр. 7-9 (рассмотрены примеры).
19. Погрешности косвенных измерений I, стр. 18-20 (обоснование); II, стр. 18-19, 22-23 (рассмотрены примеры)
20. Построение и анализ графиков I, стр. 20-27; II, стр. 24-31 Оба пособия равноценно дополняют друг друга
21. Общие рекомендации по проведению физического эксперимента с написанием отчёта II, стр. 3-7, 32-35
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые: иначе такое

бросание будет пустою забавой.

КОЗЬМА ПРУТКОВ

Слайд 3

I Д.Ю. Иванов, Т.Н. Князева, Ю.Н. Лазарева
Введение
в математическую обработку

результатов эксперимента
(БГТУ, 2018)
II Д.Ю. Иванов, Ю.Н. Лазарева
Математическая обработка результатов измерений
в примерах
(БГТУ, 2019)

Ну!
И зачем нам всё это…?

Есть и другая точка зрения….

Слайд 4

Проблема эфира
Проблема эфира, который заполняет всё мироздание, волновала науку с давних

пор. В 1887 г. Майкельсон и Морли предприняли сложнейший для своего времени эксперимент по определению влияния движения Земли по орбите на скорость света .
В результате, никакого влияния обнаружено не было. Но чтобы это доказать и, главное, чтобы все в это поверили, скорость света следовало измерять с соответствующей точностью.
Попробуем её оценить. Скорость света: с=300000 км/с, а скорость движения Земли: v=30 км/с.
Из этих чисел видно, что абсолютная погрешность измерения скорости света не должна была превышать (3÷4) км/с. Много это или мало?
На этот вопрос отвечает другой способ определения точности измерений – относительная погрешность: ε=Δc/c. Из приведённых данных получаем ε=10-4, или одна сотая процента.
Значит, прежде, чем приступать к проведению столь сложного и дорогостоящего эксперимента, его авторы должны были убедиться, что это им по силам.
Кстати, современная точность определения скорости света: ε=10-9
Прежде, чем мы перейдём к другому примеру, отметим, что только что мы познакомились с двумя способами описания точности измерений: абсолютной и относительной погрешностями.
подробнее см. I стр. 7
.

Для науки

Слайд 5

Пусть, например, один из цехов завода производит стволы, а другой –

патроны. Понятно, что и те, и другие должны подходить друг другу в любых комбинациях. Для этого их размеры должны быть достаточно жёстко заданы и отклонения от регламента не могут выходить за определённые пределы. Чтобы этого достичь, заводу потребуется завести у себя целую науку – метрологию, частью которой и является теория погрешностей.
И в обычной жизни мы сталкиваемся с измерениями на каждом шагу, часто даже не замечая этого (примерка одежды, расстановка мебели, определение веса и т.п.). При этом чаще всего в этих случаях нас устраивают даже не слишком точные приборы и измерения.

Производство винтовок и патронов к ним

Для практики

Слайд 6

Существует ли истинный размер?
Тем не менее, всё же может возникнуть вопрос:

а нельзя ли, если очень нужно, провести измерения абсолютно точно, определив тем самым истинную величину?
Представим себе, что мы могли бы неограниченно увеличивать точность измерения, скажем, линейных размеров предмета. К чему мы пришли бы в конце концов? Мы стали бы чувствовать движение отдельных атомов. Отсюда видно, что истинного значения измеряемой величины не существует в принципе.
Как же быть?
Опыт показывает, что если достаточно чувствительным прибором (это важно) много раз измерять одну и ту же величину (длину, массу, силу тока и т.п.), то при каждом измерении мы будем в силу случайных причин получать не одинаковые результаты. Метрологи сказали бы, что результат каждого измерения отягощён случайной погрешностью.

Слайд 7

Прямые и косвенные измерения
Измерения, проведённые непосредственно с помощью тех или иных

приборов, называются прямыми, а вычисление искомой величины по формулам, связывающим эту величину с другими параметрами, определёнными в ходе прямых измерений, носит название косвенных измерений.
Одну и ту же величину часто можно определить как с помощью прямых, так и посредством косвенных измерений.
Например, массу тела можно узнать, взвесив его на весах, но её же можно рассчитать, зная плотность материала, на основе прямого измерения объёма тела по формуле
m=Vρ.
Сопротивление проводника можно измерить непосредственно омметром, но можно и рассчитать по закону Ома, использовав прямые измерения силы тока и напряжения:
R=U/I.
Погрешности прямых и косвенных измерений в силу их принципиально различной природы находят поэтому и принципиально разными методами. В первом случае – это теория вероятностей, а во втором – дифференциальное исчисление.

Слайд 8

В основе подхода к оценке результата прямых измерений и его случайной

погрешности лежат достаточно простые и интуитивно понятные идеи, но потребовался талант К.Ф. Гаусса (1777-1855), которого ещё при жизни называли «королём математиков», чтобы эти идеи оформились в изящную законченную математическую теорию.
Каковы же эти идеи?
наилучшим значением измеряемой физической величины является среднее арифметическое
отклонения от среднего в сторону меньших и больших значений равновероятны;
чем больше отклонение от среднего, тем меньше измерений попадает в этот диапазон Δx. Иначе говоря, функция распределения ρ(x) по обе стороны от x есть монотонно убывающая функция;
функция распределения ρ(x) с увеличением абсолютной величины x должна приближаться к нулю асимптотически, т.е. очень большие отклонения от среднего, хотя и маловероятны, но все же возможны.

Прямые измерения

Слайд 9

Функция распределения Гаусса

Параметр σ, задавая ширину распределения, определяет, тем самым,

качество проведённых измерений: чем меньше σ, тем точнее измерения. В теории ошибок величину σ принято называть средней квадратичной ошибкой измерения.

Слайд 10

Функция распределения Гаусса
В соответствии со смыслом функции распределения ρ(x) площадь фигуры,

ограниченной участком кривой ρ(x) и вертикальными прямыми, проведёнными из точек x1 и x2, численно равна вероятности попадания результата измерения в интервал Δx = x2–x1. Вероятность такого типа называется доверительной вероятностью.

Слайд 11

Доска Гальтона (видео)

Лучше всего влияние случайных причин на результат измерения

можно продемонстрировать с помощью устройства, изобретённого в 1873 г. английским учёным Ф. Гальтоном (1822-1911). Доска Гальтона моделирует основные свойства распределения Гаусса.
Она представляет собой ящик с прозрачной передней стенкой. В заднюю стенку в шахматном порядке вбиты штырьки, образующие треугольник. Сверху в ящик через воронку, выход из которой расположен ровно посередине между левой и правой стенками, засыпают шарики. В идеальном случае, сталкиваясь со штырьком, шарик каждый раз с одинаковой вероятностью может повернуть либо направо, либо налево. Нижняя часть ящика разделена перегородками по числу штырьков в нижнем ряду, в результате чего шарики, скатываясь на дно ящика, образуют столбики, которые тем выше, чем ближе к середине доски. При достаточно большом числе шариков внешний вид столбиков приближается к кривой нормального распределения – кривой Гаусса.

Слайд 12

Если в неизменных условиях произвести очень большое число измерений (в пределе

– бесконечно большое), то, построив кривую Гаусса, можно будет :
найти среднее арифметическое всех проведённых измерений (соответствует максимуму кривой Гаусса). В теории вероятностей оно называется математическим ожиданием;
найти среднеквадратичную ошибку σ;
после чего записать окончательный результат измерений в зависимости от требуемой надёжности (доверительной вероятности, α) следующим образом:
в науке (и в лаборатории) обычно считают достаточными: α=0,95 и соответствующий ей доверительный интервал в 2σ.
Подробнее см. I, стр. 8-12

Предварительные итоги

Слайд 13

Жизнь коротка, или распределение Стьюдента
Основной недостаток теории Гаусса заключается в необходимости

проведения очень большого числа измерений, для чего ни у кого нет ни времени, ни желания. Но что-то делать, ведь, было нужно. Это осознавали многие, но сделал, как обычно, один человек.
Его звали Уильям Сили Госсет (1876 — 1937). Выпускник Оксфорда, Госсет, до конца жизни работал в ирландской пивоваренной компании Гиннес, которая для повышения качества и уменьшения себестоимости своей продукции, содержала большой штат, состоящий из лучших учёных.
Проблема выбора наиболее подходящих сортов хмеля, стоявшая перед Гиннес, в результате трансформировалась для Госсета во вполне академическую задачу: насколько увеличится погрешность измерения в случае, когда имеется лишь маленькая выборка из 2 или 10 образцов, по сравнению с выборкой в 1000 образцов?
И Госсет решил её. Но фирма, чтобы не открывать свои секреты другим пивоварам, разрешила ему опубликовать свои результаты только под псевдонимом. Он выбрал псевдоним Student. Сегодня его метод, известный как «t-распределение Стьюдента» (Student’s t-distribution), являясь фундаментом современной статистики, стал ещё и de facto стандартной частью промышленных протоколов контроля качества.

Слайд 14

Последовательность обработки прямых измерений
Определить среднее арифметическое по всей совокупности проведённых

многократных измерений одной и той же физической величины по одной из формул:

или

Сосчитать оценку среднеквадратичной ошибки среднего (применение распределения Стьюдента начинается именно с этого момента). Поскольку число измерений n обычно невелико, вычислить σ нельзя, но можно провести её оценку с помощью предложенной Госсетом (Стьюдентом) формулы:

Слайд 15

Последовательность обработки прямых измерений
И, наконец, определяем
То есть среднюю абсолютную погрешность

Δx результата x определяем, домножая полученную оценку на коэффициент Стьюдента tα(n), который для заданной доверительной вероятности α зависит только от числа произведённых измерений n

Подробнее см. I, стр. 13-18; II, 13-18 (рассмотрены примеры)

Слайд 16

Обработка ряда виртуальных измерений
II, cтр. 13-18 (рассмотрены примеры)

Слайд 17

Полная погрешность прямых измерений
I, cтр. 15-18;
II, стр. 10-13

(рассмотрены примеры)

Слайд 18

Ошибка ошибки и корректная запись результата
I, стр. 28;
II, стр. 7-9

(рассмотрены примеры).

Слайд 19

Погрешности косвенных измерений
I, стр. 18-20 (обоснование);
II, стр. 18-19, 22-23 (рассмотрены

примеры)

Слайд 20

Построение и анализ графиков
I, стр. 20-27;
II, стр. 24-31
Оба пособия равноценно

дополняют друг друга

Слайд 21

Общие рекомендации по проведению физического эксперимента с написанием отчёта
II, стр.

3-7, 32-35

Теория и практика обработки результатов измерений в примерах

Содержание

Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые: иначе такое

I Д.Ю. Иванов, Т.Н. Князева, Ю.Н. Лазарева Введение в математическую обработку

Проблема эфираПроблема эфира, который заполняет всё мироздание, волновала науку с давних

Пусть, например, один из цехов завода производит стволы, а другой –

Существует ли истинный размер?Тем не менее, всё же может возникнуть вопрос:

Прямые и косвенные измеренияИзмерения, проведённые непосредственно с помощью тех или иных

В основе подхода к оценке результата прямых измерений и его случайной

Функция распределения Гаусса Параметр σ, задавая ширину распределения, определяет, тем самым,

Функция распределения ГауссаВ соответствии со смыслом функции распределения ρ(x) площадь фигуры,

Доска Гальтона (видео) Лучше всего влияние случайных причин на результат измерения

Если в неизменных условиях произвести очень большое число измерений (в пределе

Жизнь коротка, или распределение СтьюдентаОсновной недостаток теории Гаусса заключается в необходимости

Последовательность обработки прямых измерений Определить среднее арифметическое по всей совокупности проведённых

Последовательность обработки прямых измеренийИ, наконец, определяем То есть среднюю абсолютную погрешность

Обработка ряда виртуальных измерений II, cтр. 13-18 (рассмотрены примеры)

Полная погрешность прямых измерений I, cтр. 15-18; II, стр. 10-13

Ошибка ошибки и корректная запись результатаI, стр. 28; II, стр. 7-9

Погрешности косвенных измеренийI, стр. 18-20 (обоснование); II, стр. 18-19, 22-23 (рассмотрены

Построение и анализ графиковI, стр. 20-27; II, стр. 24-31Оба пособия равноценно

Общие рекомендации по проведению физического эксперимента с написанием отчёта II, стр.

Похожие презентации