Содержание
- 2. Лектор Людмила Ивановна Ниворожкина Каф. Статистики, эконометрики и оценки рисков, ком.504
- 3. 1.Ниворожкина Л.И., Морозова З.А.. Теория вероятностей и математическая статистика / М.: Эксмо, 2008. – 432 с.
- 4. Тема 1. Основные понятия и определения теории вероятностей 1. Предмет теории вероятностей и её значение для
- 5. Теория вероятностей – наука, изучающая с количественной стороны закономерности случайных явлений (событий) массового характера. Что такое
- 6. Случайным называется такое явление (событие), осуществление которого заранее гарантировать нельзя. Случайным нам кажется все, что нарушает
- 7. Теория вероятностей – это наука, которая применяется к реальным событиям, обладающим двумя свойствами: случайностью и массовостью.
- 8. Основной задачей теории вероятностей является установление математических законов для исследования случайных явлений массового характера и предвидения
- 9. Испытания, события и их классификация Основными понятиями теории вероятностей являются понятия: событие и испытание (опыт, эксперимент).
- 10. Проведение измерения, наблюдения или опыта будем называть испытанием. Испытанием (опытом, экспериментом), называется процедура, включающая определенные условия
- 11. 1) процедура может быть повторена достаточно большое число раз (не ограниченное) без изменения условий; 2) результаты
- 13. Событие – это результат испытания. Событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не
- 14. Классификация событий Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Достоверные события обозначим
- 15. Невозможное событие - это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Невозможное событие
- 16. Несовместные события. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появления
- 17. Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет
- 18. Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий. Появление одного
- 19. При покупке двух лотерейных билетов события: - ни одного выигрышного; - один билет выигрышный; - два
- 20. Условимся различать сложные (разложимые) и элементарные (неразложимые) события. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием или
- 21. 3. Алгебра событий Множество - это совокупность, набор, коллекция, собрание каких-либо элементов, объединенных по определенному признаку.
- 23. Диаграммы Венна (по имени английского логика Джона Венна (1834-1923)) схематически рисуют наборы элементов и взаимоотношения между
- 25. Рассмотрим два набора А и В внутри полного множества Х. Мы называем А и В подмножествами
- 27. Определим событие А как множество студентов, сдавших зимнюю сессию только на отлично, а событие В -
- 31. Сумма событий А+В - подмножество студентов, сдавших на отлично или летнюю или зимнюю или обе сессии.
- 32. Два набора могут не иметь пересечения. В этом случае мы говорим, что пересечение А и В
- 34. Классическое определение вероятности Под вероятностью понимают численную меру степени объективной возможности наступления события. В теории вероятностей
- 35. Наиболее просто вероятности определяются в классической схеме, когда в X можно выделить полную группу несовместных и
- 36. Пусть событие A происходит при осуществлении каких-то M элементарных исходов из Обозначим число благоприятствующих событию А
- 37. Тогда где N – число всех исходов M – целое неотрицательное число Это – классическая вероятность
- 38. Вероятностью появления события называют отношение числа исходов (шансов), благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех
- 39. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения. 1. Вероятность достоверного события равна 1, т.е. Действительно, если событие
- 40. 2. Если событие невозможное , то его вероятность равна 0, то есть P(Ø)=0 Если A=∅, то
- 41. 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть В самом деле, а отсюда Например, если
- 42. Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) появления события. Если, к примеру, некоторая
- 43. Относительной частотой события называется отношение числа испытаний, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний
- 44. Статистической вероятностью события называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний
- 45. Последовательность решения задач по определению вероятности события: 1. Определить состав испытания (опыта). 2. Определить элементарное событие
- 46. В урне содержится 6 шаров одинаковых по размеру и весу. 3 из них – белые, 2
- 47. Исходы B1, B2, B3, B4, B5, B6 – исходы элемен-тарных событий или элементарные исходы. Элементарные исходы,
- 48. Для определения вероятности выпадения 1 или 2 при подбрасывании кости нам необходимо только знать «модель игры»,
- 49. Монета подбрасывается три раза. Найдите вероятность того, что при этом (безразлично в каком порядке) выпадет два
- 50. 1. Опыт (испытание, эксперимент) состоит в трехкратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании трех монет). 2. Элементарным
- 51. ТЕМА 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ План 1.Теоремы сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий 2.Свойство вероятностей
- 52. Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного
- 54. Для случая трех совместных событий можно записать:
- 56. Предположим, что вероятность получить выпускнику определенную работу, равна 0,4 - P(A) , вероятность получить другую работу
- 57. Пример. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 52 карты. Определим события: - «извлечение
- 58. Для несовместных событий их совместное наступление есть невозможное событие, т.е. P(AB)=(∅)=0. Следовательно, вероятность суммы двух несовместных
- 59. Правило сложения вероятностей справедливо и для конечного числа попарно несовместных событий, т.е.:
- 60. Сумма вероятностей событий A1, A2, A3,…, An образующих полную группу событий, равна 1
- 61. Так как противоположные события образуют полную группу, то для них будет тоже справедливо утверждение, характеризующее свойство
- 62. В урне два белых и три черных шара. Чему равна вероятность появления белого шара при первом
- 63. Схема возвращенного шара, то есть шар после первого испытания возвращается в урну. Пусть событие А -
- 64. Cобытия А, В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или
- 65. Схема невозвращенного шара, то есть шар после первого испытания в урну не возвращается. Вероятность появления белого
- 66. Искомую вероятность обозначают Р(В/А) или Р(В)А или РА(В). Итак, Р(В/А)=1/4 называют условной вероятностью, а события А,
- 67. Cобытия А, В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет
- 68. Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух зависимых событий А, В равна произведению вероятности одного из них
- 69. Вероятность наступления события B, вычисленная при условии, что событие A уже произошло, равна вероятности произведения событий
- 70. Консультационная фирма претендует на два заказа от двух крупных корпораций. Эксперты фирмы считают, что вероятность получения
- 71. Решение. Мы имеем Р(А)=0,45, а также знаем, что Р(В/А)=0,9. Необходимо найти Р(АВ), которая является вероятностью того,
- 72. Если события А, В - независимы, то имеет место следующая теорема: Вероятность произведения двух независимых событий
- 73. Независимость событий в совокупности Если несколько событий попарно независимы, то отсюда еще не следует их независимость
- 74. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.
- 75. Вероятность совместного наступления конечного числа зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности
- 76. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту три вопроса.
- 78. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного продукта по телевидению, равна 0,04. Вероятность того, что потребитель
- 79. Вероятность появления хотя бы одного события Вероятность появления хотя бы одного события из n независимых в
- 80. Если события А1, А2, ... An - зависимые в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного
- 81. Пусть событие С -“ потребитель увидит хотя бы одну рекламу”. Это значит, что потребитель увидит рекламу
- 83. Скачать презентацию