A
B
C
O
Опорна задача (про точку, рівновіддалену від усіх сторін многокутника) Якщо точка
поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх його сторін, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є центр кола, вписаного в многокутник.
Р
Опустимо з точки Р перпендикуляр РО до площини АВС.
Проведемо перпендикуляри PK, PM i PN до сторін АВ, ВС і АС відповідно.
N
K
M
За умовою PK=PM=PN.
Відрізки ОK, ОM, ОN проекції
рівних похилих, тому ОK=ОM=ОN.
За теоремою про три перпендикуляри
ці проекції перпендикулярні
до сторін : точка О
площини АВС рівновіддалена
від сторін трикутника
(многокутника),
тобто є центром
вписаного у нього
кола, що й треба
було довести