Точка рівновіддалена від сторін многокутника

його сторін, є бісектриса цього кута

A

B

C

К

АВС, є точка О – точка перетину бісектрис цього
трикутника, яка є центром вписаного в трикутник кола.

A

B

C

O

пряма, яка проходить через точку О – центр кола, вписаного в цей трикутник, перпендикулярно до площини заданого трикутника.

поза площиною многокутника рівновіддалена від усіх його сторін, то основою перпендикуляра, проведеного з даної точки до площини многокутника, є центр кола, вписаного в многокутник.

Р

Опустимо з точки Р перпендикуляр РО до площини АВС.
Проведемо перпендикуляри PK, PM i PN до сторін АВ, ВС і АС відповідно.

N

K

M

За умовою PK=PM=PN.
Відрізки ОK, ОM, ОN проекції
рівних похилих, тому ОK=ОM=ОN.
За теоремою про три перпендикуляри
ці проекції перпендикулярні
до сторін : точка О
площини АВС рівновіддалена
від сторін трикутника
(многокутника),
тобто є центром
вписаного у нього
кола, що й треба
було довести

ОK, ОM iОN до сторін АВ, ВС і АС відповідно.

N

K

M

За умовою рівності проекцій ОK=ОM=ОN
Отримаємо рівні похилі: PK=PM=PN.
За теоремою про три перпендикуляри
ці похилі перпендикулярні
до сторін : будь-яка точка РО
рівновіддалена
від сторін трикутника
(многокутника),
що й треба
було довести

Обернена задача Якщо через центр кола, вписаного в многокутник, проведено пряму, перпендикулярну до площини многокутника, то точки даної прямої рівновіддалені від усіх сторін многокутника.

рівновіддалена від усіх сторін трикутника, розміщена на відстані 3 см від площини трикутника. Знайдіть відстань від даної точки до сторін трикутника.

К

Дано: ΔАВС, ∠С=900 , О – центр вписаного кола,
SО ⊥ (АВС), АС = 12 см, ВС = 16 см,
SM=SК=SN, SO=3 см
Знайти: SM, SK, SN

Розв’язання
Перпендикуляр SО до площини АВС проектується в центр вписаного кола.
З ΔАВС за теоремою Піфагора маємо

N

M

S

Для прямокутного трикутника АВС радіус вписаного кола можна
обчислити за формулою

АС = 12 см, ВС = 16 см,
SM=SК=SN, SO=3 см
Знайти: SM, SK, SN

Розв’язання (продовження)
З ΔOKS за теоремою Піфагора маємо

N

M

S

SK=SN=SM= 5 см

см і 40 см. Точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 20 см. Знайдіть відстань від даної точки до площини трикутника.

К

Дано: ΔАВС, АВ=ВС=40см , О – центр вписаного кола, РО ⊥ (АВС),
АС = 48см, РK=РN=РM=20 см
Знайти: РO

Розв’язання
Перпендикуляр РО до площини
АВС проектується в центр
вписаного кола.
Для знаходження
радіуса вписаного
кола можна
використати
формулу

Р

N

M