Линейная алгебра. Матрица

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Линейная алгебра. Матрица

Содержание

2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Линейная алгебра и аналитическая геометрия: 1. Матрицы 2. Определители 3. Системы линейных уравнений 4.
3. Линейная алгебра
5. Матрица – это прямоугольная таблица чисел. Аm*n – матрица размера m*n (m строк, n столбцов) bi
6. Виды матриц: Матрица-строка (вектор-строка) – матрица, состоящая из одной строки. Матрица-столбец – матрица, состоящая из одного
11. Операции над матрицами: Сложение – выполняется только для матриц одинакового размера. Умножение матрицы на число Транспонирование
12. Свойства операций над матрицами: переместительное свойство сочетательное свойство
14. Определители Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу. Обозначение: Правила вычисления:
18. Правила вычисления определителя любого порядка Теорема Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой его
23. Обратная матрица Матрица А-1 называется обратной матрицей, если Алгоритм вычисления обратной матрицы А: Вычисляем определить матрицы
24. Решение систем линейных уравнений - переменные - коэффициенты при переменных - свободные коэффициенты Решить систему уравнений
26. Метод Крамера
27. 2 способ. Способ обратной матрицы Систему линейных уравнений можно представить в виде матричного уравнения где
28. Аналитическая геометрия Векторы на плоскости и в пространстве
29. Операции над векторами, заданными в координатной форме
30. Уравнение прямой на плоскости Уравнение прямой в общем виде Где А, В, С – числа. Уравнение
31. Условия параллельности и перпендикулярности прямых а, в – прямые k1, k2 – угловые коэффициенты прямых а
32. Аналитическая геометрия в пространстве Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку M0 (x0 ; y0 ;
33. Уравнение прямой в пространстве Параметрическое: Каноническое: S (m; n; p) – направляющий вектор, M0 (x0 ;
34. Кривые второго порядка
38. Математический анализ
39. Функции Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое множество Е. Функцию записывают так:
40. Предел переменной величины Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось еще Ньютоном
41. Предел функции в точке Определение. Число b называется пределом функции в точке a, если для всех
42. Основные свойства пределов 1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен алгебраической сумме пределов слагаемых:
43. Замечательные пределы В математике важную роль играют два специальных предела, которые ввиду их важности названы «замечательными»:
44. Раскрытие неопределенностей Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы. Например, при отыскании когда f(х)→0, φ(х) →0 или
45. Пример 4. Пример 5.
46. Дифференциальное исчисление Производной функции y=f (x) называется скорость изменения функции в данный момент времени (мгновенная скорость)
47. Правила дифференцирования
48. Пример. Вычислите производную функции
49. Применение производной к построению графика функции. Возрастание и убывание функции. Экстремумы. Функция y=f(x) возрастает на некотором
50. Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба Функция y=f(x) на промежутке [a; b] Если вторая производная f”(x)>0, то
51. Пример. Исследовать функцию f(x) и построить ее график 1) Область определения R. 2) Функция непериодическая. 3)
52. 4) Точки пересечения с осью ОХ: y = 0
53. c осью OY: х = 0 ; у = -7\10
54. 5) Экстремумы, возрастание, убывание
56. 6) Выпуклость/вогнутость
57. ГРАФИК ФУНКЦИИ
58. Первообразная и неопределенный интеграл
61. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному выражению. Действительно:
62. Таблица неопределенных интегралов
63. Таблица неопределенных интегралов
64. Метод замены переменной
65. Примеры
66. Интегрирование по частям
67. Примеры
68. Определенный интеграл
69. Свойства определенного интеграла
70. Свойства определенного интеграла
71. Вычисление определенного интеграла
72. Пример Вычислить .
73. Вычисление интеграла
74. Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах.
76. Скачать презентацию

Слайд 2

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
1. Матрицы
2. Определители
3. Системы линейных уравнений
4.

Аналитическая геометрия
Математический анализ:
1. Предел функции
2. Дифференциальное исчисление
3. Интегральное исчисление
4. Дифференциальные уравнения
5. Ряды

Слайд 3

Линейная алгебра

Слайд 4

Слайд 5

Матрица – это прямоугольная таблица чисел.
Аmn – матрица размера mn (m

строк, n столбцов)
bi j – элемент матрицы, стоящий на пересечении iтой строки и jтого столбца.

Слайд 6

Виды матриц:
Матрица-строка (вектор-строка) – матрица, состоящая из одной строки.
Матрица-столбец – матрица,

состоящая из одного столбца.
Квадратная матрица – матица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n)
Квадратная матрица 2-го порядка
Элементы квадратной матрицы, у которых i=j, называются элементами главной диагонали.
с11, с22 – элементы главной диагонали
Диагональная матрица – матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица – это диагональная матрица, у
которой элементы главной диагонали равны единице.
Нулевая матрица – матрица, у которой все элементы равны нулю.

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Операции над матрицами:
Сложение – выполняется только для матриц одинакового размера.
Умножение матрицы

на число
Транспонирование матрицы – осуществляется в результате замены строк матрицы на соответствующие столбцы с сохранением порядка элементов.

Слайд 12

Свойства операций над матрицами:

переместительное свойство
сочетательное свойство

Слайд 13

Слайд 14

Определители
Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.
Обозначение:
Правила вычисления:

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Правила вычисления определителя любого порядка
Теорема Лапласа:
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений

элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Вычислим определитель А разложением по i-той строке:
Вычислим определитель разложением по j-тому столбцу:

Слайд 19

Слайд 20

Слайд 21

Слайд 22

Слайд 23

Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной матрицей, если
Алгоритм вычисления обратной матрицы

А:
Вычисляем определить матрицы :
Вычисляем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и составляем из них присоединенную матрицу:
Транспонируем присоединенную матрицу:
Вычисляем обратную матрицу по формуле:

Слайд 24

Решение систем линейных уравнений
- переменные
- коэффициенты при переменных
-

свободные коэффициенты

Решить систему уравнений – это значит найти значения переменных, при которых каждое уравнение системы превращается в верное числовое равенство.
Если система имеет решение, то она называется совместной.
Если не имеет решений, то – несовместной.
Если совместная система имеет единственное решение, то она называется определенной.
Если бесконечно много, то – неопределенной.

Слайд 25

Слайд 26

Метод Крамера

Слайд 27

2 способ. Способ обратной матрицы
Систему линейных уравнений можно представить в виде

матричного уравнения
где

Слайд 28

Аналитическая геометрия Векторы на плоскости и в пространстве

Слайд 29

Операции над векторами, заданными в координатной форме

Слайд 30

Уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в общем виде
Где А, В,

С – числа.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Угол между двумя прямыми
Где k2 , k1 – угловые коэффициенты прямых
Формула берётся со знаком «+», если угол между прямыми острый, т.к. тангенс острого угла – число положительное;
Формула берётся со знаком «-», если угол между прямыми тупой, т.к. тангенс тупого угла – число отрицательное.

Слайд 31

Условия параллельности и перпендикулярности прямых
а, в – прямые
k1, k2 – угловые

коэффициенты прямых
а II в, если k2 = k1
а в, если k2 = -
Расстояние от точки до прямой
Точка пересечения двух прямых

Слайд 32

Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку M0

(x0 ; y0 ; z0), перпендикулярно вектору n=(A; B;C):
Общее уравнение плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через три точки:
Уравнение плоскости в отрезках
A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

Слайд 33

Уравнение прямой в пространстве
Параметрическое:
Каноническое: S (m; n; p) – направляющий вектор,

M0 (x0 ; y0 ; z0)
Уравнение прямой, проходящей через две точки:
Общее уравнение (пересечение двух плоскостей)

Слайд 34

Кривые второго порядка

Слайд 35

Слайд 36

Слайд 37

Слайд 38

Математический анализ

Слайд 39

Функции
Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое

множество Е.
Функцию записывают так: y=f(x).
Множество D называется областью определения функции, а его элемент - аргументом. Множество Е называется областью значений функции, а его элемент - функцией (значением функции, зависимой переменной).
Графиком функции y=f(x) называют множество точек на плоскости, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента , а ординаты – соответствующими значениями функции.

Слайд 40

Предел переменной величины
Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие

предела использовалось еще Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
Пусть переменная величина x в процессе своего изменения неограниченно приближается к числу 5, принимая при этом следующие значения: 4,9; 4,99;4,999;…или 5,1; 5,01; 5,001;… В этих случаях модуль разности стремится к нулю: = 0,1; 0,01; 0,001;…
Число 5 в приведенном примере называют пределом переменной величины x и пишут lim x = 5.
Определение. Постоянная величина a называется пределом переменной x, если модуль разности при изменении x становится и остается меньше любого как угодно малого положительного числа e.

Слайд 41

Предел функции в точке
Определение. Число b называется пределом функции в точке

a, если для всех значений x, достаточно близких к a и отличных от a, значения функции сколь угодно мало отличаются от числа b.

Слайд 42

Основные свойства пределов
1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен

алгебраической сумме пределов слагаемых:
lim(x + y + … + t) = lim x + lim y + … + lim t.
2. Предел произведения конечного числа переменных величин равен произведению их пределов:
lim(x·y…t) = lim x · lim y…lim t.
3. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
lim(cx) = lim c · lim x = c lim x.
Например, lim(5x + 3) = lim 5x + lim 3 = 5 lim x + 3.
4. Предел отношения двух переменных величин равен отношению пределов, если предел знаменателя не равен нулю
5. Предел целой положительной степени переменной величины равен той же степени предела этой же переменной:

Слайд 43

Замечательные пределы
В математике важную роль играют два специальных предела, которые

ввиду их важности названы «замечательными»:
- первый замечательный предел
- второй замечательный предел
Пример 1.
Пример 2.

Слайд 44

Раскрытие неопределенностей
Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы.
Например, при

отыскании
когда f(х)→0, φ(х) →0 или f(х)→∞, φ(х) → ∞.
В этом случае надо проделать над дробью некоторые преобразования. Чтобы обозначить такие ситуации,
говорят, что имеем дело с неопределенностью
или
Пример 3.

Слайд 45

Пример 4.
Пример 5.

Слайд 46

Дифференциальное исчисление
Производной функции y=f (x) называется скорость изменения функции в

данный момент времени (мгновенная скорость)
Таблица производных

Слайд 47

Правила дифференцирования

Слайд 48

Пример. Вычислите производную функции

Слайд 49

Применение производной к построению графика функции. Возрастание и убывание функции. Экстремумы.

Функция y=f(x) возрастает на некотором интервале [a;b], если производная функции на этом интервале больше нуля f’(x)>0.
Если f’(x)<0, то функция убывает.
Точка x0 называется точкой экстремума функции, если:
f’(x) в этой точке равна нулю или не существует
функция в этой точке должна существовать
f’(x) при переходе через точку меняет свой знак:
с «+» на «–» точка максимума max
с «–» на «+» точка минимума min

Слайд 50

Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба
Функция y=f(x) на промежутке [a; b]

Если вторая производная f”(x)>0, то функция на промежутке [a; b] является выпуклой вниз.
Если f”(x)<0, то функция выпукла вверх.
Точка x0 является точкой перегиба функции, если:
f”(x)=0 или f”(x) не существует;
f(x) в этой точке существует;
f”(x) при переходе через эту точку меняет свой знак.

Слайд 51

Пример. Исследовать функцию f(x) и построить ее график

1) Область определения R.

2) Функция непериодическая.
3) Четность/нечетность - функция общего вида.

Слайд 52

4) Точки пересечения с осью ОХ: y = 0

Слайд 53

$c осью OY: х = 0 ; у = -7\10$

c осью OY: х = 0 ; у = -7\10

Слайд 54

5) Экстремумы, возрастание, убывание

Слайд 55

Слайд 56

6) Выпуклость/вогнутость

Слайд 57

ГРАФИК ФУНКЦИИ

Слайд 58

Первообразная и неопределенный интеграл

Слайд 59

Слайд 60

Слайд 61

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному

выражению. Действительно:

Слайд 62

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 63

Таблица неопределенных интегралов

Слайд 64

Метод замены переменной

Слайд 65

Примеры

Слайд 66

Интегрирование по частям

Слайд 67

Примеры

Слайд 68

Определенный интеграл

Слайд 69

Свойства определенного интеграла

Слайд 70

Свойства определенного интеграла

Слайд 71

Вычисление определенного интеграла

Слайд 72

Пример
Вычислить .

Слайд 73

Вычисление интеграла

Слайд 74

Линейная алгебра. Матрица

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ Линейная алгебра и аналитическая геометрия:1. Матрицы2. Определители3. Системы линейных уравнений4.

Линейная алгебра

Матрица – это прямоугольная таблица чисел.Аm*n – матрица размера m*n (m

Виды матриц:Матрица-строка (вектор-строка) – матрица, состоящая из одной строки.Матрица-столбец – матрица,

Операции над матрицами:Сложение – выполняется только для матриц одинакового размера.Умножение матрицы

Свойства операций над матрицами: переместительное свойствосочетательное свойство

ОпределителиОпределитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.Обозначение: Правила вычисления:

Правила вычисления определителя любого порядкаТеорема Лапласа:Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений

Обратная матрицаМатрица А-1 называется обратной матрицей, если Алгоритм вычисления обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений - переменные - коэффициенты при переменных -

Метод Крамера

2 способ. Способ обратной матрицыСистему линейных уравнений можно представить в виде

Аналитическая геометрия Векторы на плоскости и в пространстве

Операции над векторами, заданными в координатной форме

Уравнение прямой на плоскостиУравнение прямой в общем виде Где А, В,

Условия параллельности и перпендикулярности прямыха, в – прямыеk1, k2 – угловые

Аналитическая геометрия в пространствеУравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку M0

Уравнение прямой в пространствеПараметрическое:Каноническое: S (m; n; p) – направляющий вектор,

Кривые второго порядка

Математический анализ

Функции Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое

Предел переменной величиныПредел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие

Предел функции в точке Определение. Число b называется пределом функции в точке

Основные свойства пределов 1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен

Замечательные пределы В математике важную роль играют два специальных предела, которые

Раскрытие неопределенностей Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы. Например, при

Пример 4.Пример 5.

Дифференциальное исчисление Производной функции y=f (x) называется скорость изменения функции в

Правила дифференцирования

Пример. Вычислите производную функции

Применение производной к построению графика функции. Возрастание и убывание функции. Экстремумы.

Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба Функция y=f(x) на промежутке [a; b]

Пример. Исследовать функцию f(x) и построить ее график 1) Область определения R.

4) Точки пересечения с осью ОХ: y = 0

c осью OY: х = 0 ; у = -7\10

5) Экстремумы, возрастание, убывание

6) Выпуклость/вогнутость

ГРАФИК ФУНКЦИИ

Первообразная и неопределенный интеграл

Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал- подынтегральному

Таблица неопределенных интегралов

Таблица неопределенных интегралов

Метод замены переменной

Примеры

Интегрирование по частям

Примеры

Определенный интеграл

Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла

Пример Вычислить .

Вычисление интеграла

Вычисление площадей Площадь фигуры в декартовых координатах.

Похожие презентации

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Линейная алгебра и аналитическая геометрия:
1. Матрицы
2. Определители
3. Системы линейных уравнений
4.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел.
Аmn – матрица размера mn (m

Виды матриц:
Матрица-строка (вектор-строка) – матрица, состоящая из одной строки.
Матрица-столбец – матрица,

Операции над матрицами:
Сложение – выполняется только для матриц одинакового размера.
Умножение матрицы

Свойства операций над матрицами:

переместительное свойство
сочетательное свойство

Определители
Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу.
Обозначение:
Правила вычисления:

Правила вычисления определителя любого порядка
Теорема Лапласа:
Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений

Обратная матрица
Матрица А-1 называется обратной матрицей, если
Алгоритм вычисления обратной матрицы

Решение систем линейных уравнений
- переменные
- коэффициенты при переменных
-

2 способ. Способ обратной матрицы
Систему линейных уравнений можно представить в виде

Уравнение прямой на плоскости
Уравнение прямой в общем виде
Где А, В,

Условия параллельности и перпендикулярности прямых
а, в – прямые
k1, k2 – угловые

Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнение плоскости в пространстве, проходящей через точку M0

Уравнение прямой в пространстве
Параметрическое:
Каноническое: S (m; n; p) – направляющий вектор,

Функции
Функцией (числовой функцией) называется отображение числового множества D в числовое

Предел переменной величины
Предел – одно из основных понятий математического анализа. Понятие

Предел функции в точке
Определение. Число b называется пределом функции в точке

Основные свойства пределов
1. Предел алгебраической суммы конченного числа переменных величин равен

Замечательные пределы
В математике важную роль играют два специальных предела, которые

Раскрытие неопределенностей
Иногда правила предельного перехода непосредственно неприменимы.
Например, при

Пример 4.
Пример 5.

Дифференциальное исчисление
Производной функции y=f (x) называется скорость изменения функции в

Промежутки выпуклости функции. Точки перегиба
Функция y=f(x) на промежутке [a; b]

Пример. Исследовать функцию f(x) и построить ее график

1) Область определения R.

Пример
Вычислить .

Вычисление площадей
Площадь фигуры в декартовых координатах.