Третий признак равенства треугольников

∠Р=∠Т ч.т.д.

С

О

Т

В

Р

∠С=∠В=900

Доказать: ∠Р=∠Т, ТО=ОР .

Доказательство:
Рассмотрим ∆ВРО и ∆СТО.
ОВ=СО (по условию)

∠В=∠С=900 (по условию)

∠РОВ=∠СОТ (вертикальные углы)

Следовательно, ∆ВРО = ∆СТО (по стороне и двум прилежащим углам).

Найти: ∠А .
2) На боковых сторонах равнобедренного треугольника KВT
отложены равные отрезки ВМ и BN, BD – медиана треугольника.
Докажите, что MD=ND.

Вариант 2.
1) Дано: AD=AB, СD=CB, ∠D=140°.
Доказать: ∆DAC=∆BAC.
Найти: ∠B .
2) На боковых сторонах равнобедренного треугольника GВK
отложены равные отрезки ВМ и BN, BD – высота треугольника.
Докажите, что MD=ND.

A

В

С

D

140°

.

Доказать: 1) ∠АВЕ = ∠ADF; 2) ∆АВЕ = ∆CDF.

Доказательство: 1) ∆АВС = ∆CDA по трем сторонам: АВ=CD (по условию), ВС=AD (по условию), АС - общая.
Значит, ∠В=∠D, ∠ВАС= ∠DCA, ∠АСВ=∠CAD (по определению равенства треугольников).

2) ∠АВЕ равен половине ∠АВС (так как ВЕ - биссектриса).
∠АDF равен половине ∠ADC (так как DF - биссектриса), тогда ∠АВЕ=∠ADF (из п.1)

∆ АВЕ = ∆CDF (по стороне и двум прилежащим углам):
AB=CD(по усл.), ∠ВАС=∠DCA(из п.1), ∠ABE =∠FDC (из пп.1 и 2),
ч.т.д.

(1606 г.)

Микроскоп
(1612 г.)

Ножницы!!

петровский период при строительстве завода оружия. Прославилось в 1917 году, когда правитель мирового пролетариата провел на его берегу почти 2 месяца, скрываясь от преследований.
Рабочий Николай Емельянов прятал Ленина и Зиновьева на чердаке своего жилища, а затем отправил их на противоположный берег озера, где «пленники» жили в хибарах из сена и ветвей, жгли костры и общались со Сталиным, который часто наведывался к ним в гости. А после окончания сенокосного сезона Ленин по решению партии смог выехать в Гельсингфорс.
В 1925 году шалаш и сарай Ленина и Зиновьева превратились в музеи. На территории расположены черно-белые портреты товарищей Ленина, посетители также смогут ознакомиться с «Синей тетрадью», в которую он вписывал цитаты Маркса и Энгельса.

районе Санкт-Петербурга. Расположено в парке "Озеро Долгое", в месте пересечения улицы Ольховой с проспектом Королева.
Название озеро получило благодаря своей вытянутой форме. До XVIII века озеро называлось Питкяярви, что означает "длинное озеро" в переводе с финского. Русское название стало употребляться с начала XVIII века.
В 1980-е годы, когда строился жилищный район, уменьшилась площадь озера и оно стало более мелким. Окрестности озера являются зоной отдыха.
По наименованию озера Долгого получили свои названия жилой район Озеро Долгое, Долгоозерная улица и парк "Озеро Долгое".

Санкт-Петербурге в Красносельском районе. Находится рядом с поселком Можайский, который раньше назывался Дудергофом.
Красносельский район расположен выше всех над уровнем моря. Поэтому озеро Дудергоф также находится достаточно высоко - на 79.9 мерах над уровнем моря.
Одна из версий происхождения озера звучит так: на реке Лига была построена плотина и образовала озеро Дудергоф. Существует гипотеза и о ледниковом происхождении Дудергофа. Сейчас озеро питается талыми и дождевыми водами. Из него вытекает речушка Дудергофка.
Озеро Дудергоф в настоящее время - место отдыха жителей Санкт-Петребурга. Несколько лет назад в озеро был запущен карп, который хорошо прижился и разводится в озере.

между двумя точками А и В,
из которых одна (точка А) недоступна,
провешивают
направление отрезка АВ и
на его продолжении отмеряют на земле
произвольный отрезок ВС.
Выбирают на местности точку О,
из которой видна точка А
и можно пройти к точкам В и С.
Провешивают прямые ВОЕ и COD,
отмеряют на местности DO=OC и OE=OB.
Затем идут по прямой DE, глядя на точку А,
пока не найдут точку F, которая лежит на прямой АО.
Тогда длина FE равна искомому расстоянию.
Расстояние FE измеряют на земле с помощью рулетки.

EOD:
ОС=OD (по условию), ВО=OE (по условию), ∠ВОС=∠DOE (верт.).
Таким образом, ∆ВОС = ∆EOD (по 2 сторонам и углу между ними), а ∠СВО=∠OED.
Заметим, что ∠АВО=180- ∠СВО, ∠OEF=180- ∠OED (углы смежные).
Значит, ∠АВО=∠OEF.

2. Рассмотрим треугольники АВО и OEF:
∠АВО=∠OEF (п.1), ∠AOB=∠EOF(верт.), ВО=ОЕ (по условию).
Таким образом, ∆АВО=∆OEF(по стороне и двум углам).
Значит, АВ=EF. ч.т.д.

нас всего, у нас всего,
У нас всего по три.
Три стороны и три угла,
И столько же вершин.
И трижды трудные дела
Мы трижды совершим.
Все в нашем городе друзья,
Дружнее не сыскать.
Мы – треугольников семья,
Нас каждый должен знать!
В. Житомирский,
Л. Шеврин

Команда, первой передавшая листок, получает дополнительно 1 балл.
Команды, набравшие 11-12 баллов, получают отметку «5».

урока