Треугольники. Решение задач

треугольников
§2. Медианы, биссектрисы и высоты треугольников
а) Перпендикуляр к прямой
б) Медианы, биссектрисы и высоты треугольников
в) Свойства равнобедренного треугольника
§3. Второй и третий признак равенства треугольников
а) Второй признак равенства треугольников
б) Третий признак равенства треугольников
§4. Окружность
а) Окружность

периметра:

Треугольник – это фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки треугольника называются вершинами, а отрезки - его сторонами.

Треугольники

отрезок - сторона - АВ
отрезок - сторона - ВС
отрезок - сторона - АС

стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны АС. Найдите периметр треугольника АВС

Решение: 1) АС = 2*АВ = 2*17 = 34см.
2) ВС = АС – 10= 34 - 10 = 24см.
3) Р = АВ + ВС + АС = 17 + 34 + 24 = 75 см
Ответ: РАВС = 75см.

<90o ).

Тупоугольный треугольный – это такой треугольник, у которого хотя бы один угол тупой ( >90o ).

Прямоугольный треугольник – это такой треугольник, у которого есть прямой угол ( 90о ).

Равносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны равны по величине между собой.

Равнобедренный треугольник – это такой треугольник, у которого боковые стороны равны по величине.

Разносторонний треугольник – это такой треугольник, у которого все стороны разные по величине.

другого треугольника.

Равные треугольники

Чтобы доказать это высказывание - наложим один треугольник на другой.

Раз АВ=А1В1
Раз ВС=В1С1
Раз АС=А1С1

из них. Докажем, что треугольники АВС и EBD равны.

двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны!

Первый признак равенства
треугольников

Доказательство:
Рассмотрим треугольники
АВС и А1В1С1,
у которых АВ=А1В1, АС=А1С1,
углы А и А1 равны.

Так как угол А = углу А1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что их вершины и стороны наложились друг на друга.

ВС = В1С1

Раз АВ=А1В1
Раз угол А = углу А1
Раз АС=А1С1

треугольника с серединой противоположной стороны.

Любой треугольник имеет
три медианы.

Медиана АМ

Медиана ВМ1

Медиана СМ2

с точкой противоположной стороны и делящий угол на 2 равных друг другу по величине угла

Любой треугольник имеет
три биссектрисы.

Биссектриса АМ

Биссектриса ВМ1

Биссектриса СМ2

напротив этой вершины.

Любой треугольник имеет три высоты.

Высота АН1

Высота ВН2

Высота СН3

Медианы, биссектрисы
и высоты треугольника

= В1М1
(по опр. равных треугольников)

ч.т.д.

к этой прямой, и при том только один.

А

В

С

М

Н

(

(

1

2

Доказательство:
Докажем сначала, что из точки А можно провести перпендикуляр к прямой ВС.

А1

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой.

Точка Н – это основание перпендикуляра.

Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а.

Отложим от луча ВС угол МВС, равный
углу АВС. Так как углы АВС и МВС равны, то первый из них можно наложить на второй так, что стороны
ВА и ВС первого угла совместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла.

При этом точка А наложится на некоторую точку А1 луча ВМ.

Обозначим точку Н пересечением прямой АА1 и ВС

Отрезок АН и есть искомый перпендикуляр к прямой ВС.

При нашем наложении луч АН совмещается с лучом А1Н, поэтому угол 1 совмещается с углом 2.

Но угол 1 и угол 2 смежные, значит каждый из них прямой.

ИТАК,

Отрезок АН – это перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой а.

А

В

С

Н

(

(

1

2

А1

Перпендикуляры АВ и CD к прямой а равны. а) Докажем, что треугольник ABD = треугольнику CDB; б) Найдём угол ABC, если угол
ADB = 44о

одной точке.
2. Биссектрисы пересекаются в одной точке.
3. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:

р\б

AD - биссектриса

ABC

=

ACD

(по 1 призн. рав-ва треугольников)

AB=AC

AD – общая сторона

Доказать:

Пусть AD – биссектриса треугольника
АВС.

Доказательство:

!!!Теорема доказана!!!

и высотой.

Доказательство:

Равенство ВD = DС означает,
что точка D – середина
стороны ВС и поэтому
AD – медиана треугольника АВС.

Так как углы 3 и 4 – смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок AD является так же высотой треугольника АВС.

!!!Теорема доказана!!!

Справедливы так же утверждения:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Наложим треугольник АВС на треугольник А1В1С1 так, что бы вершина А совместилась с вершиной А1, сторона АВ с равной её стороной А1В1, а вершина
С и С1 оказались по одну сторону от прямой А1В1.

Таким образом, треугольники АВС и А1В1С1 полностью совместятся, поэтому они равны.

!!!Теорема доказана!!!

другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Приложим треугольник АВС к треугольнику А1В1С1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А1, вершина В – с вершиной В1, а вершины С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Рассмотрим случай, когда луч C1C проходит внутри угла А1С1В1

Так как по условию теоремы стороны АС и А1С1, ВС и В1С1 равны, то треугольники А1С1С и В1С1С – равнобедренный.

Следовательно, треугольники
АВС и А1В1С1 равны
по первому признаку равенства треугольников.

!!!Теорема доказана!!!

заданном расстоянии от данной точки.

М

О

r

Центр окружности – точка, находящаяся в центре окружности.

Радиус окружности – это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности.

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности.

D

Е

F

A

B

ОМ – радиус
OD – радиус

EF – хорда
АВ – хорда

DM - диаметр

О – центр окружности