Векторная алгебра

Июль 29, 2022

Главная
Математика
Векторная алгебра

Содержание

2. Схема вычисления определителя второго порядка (произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали). Пример. Вычислить
3. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое и равное Вычислительная математика .
4. Схема вычисления определителя третьего порядка (правило треугольника) Вычисление определителя третьего порядка методом разложения по первой строке:
5. Пример. Вычислить определитель двумя способами Вычислительная математика
6. §2. Вектор. Линейные операции над векторами. Вектор – множество направленных отрезков, имеющих общее направление и одинаковую
7. Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым, обозначают (у такого вектора совпадают начальная и конечная точки).
8. Вектор называется противоположным вектору Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
9. Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину: Три вектора в пространстве называются компланарными,
10. Линейные операции над векторами: ‑ сложение векторов; ‑ вычитание векторов; ‑ умножение вектора на число. Вычислительная
11. §3. Базис. Координаты вектора в базисе Базис на плоскости – это упорядоченная пара неколлинеарных векторов Если
12. Пусть ‑ произвольный вектор на плоскости. От произвольной точки О отложим векторы, равные и Следовательно существуют
13. Разложение вектора по базису в пространстве Базис в пространстве – это три некомпланарных вектора взятых в
14. Значения называются направляющими косинусами вектора , причем Направляющие косинусы совпадают с координатами орта
15. Свойства координат вектора: 1) при умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число;
16. Координаты точки. Их связь с координатами вектора Рассмотрим точку А. Вектор называют радиус-вектором точки А, а
17. §4. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на
18. Свойства скалярного произведения: 1) скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти
19. Пример. Вычислить если
20. Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе Рассмотрим ортонормированный базис Пусть Тогда
22. Пример 1. Найти длину вектора если Вычислительная математика
23. Пример 2. Найти вектор коллинеарный вектору если его проекция на вектор равна Вычислительная математика
24. §5. Векторное произведение векторов Понятие правой и левой тройки векторов Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой,
25. Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , длина и направление которого определяются следующими условиями:
26. Свойства векторного произведения: 1. (антикоммутативность); 2. 3. (условие коллинеарности двух векторов).
27. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе Пусть Тогда
28. Пример. Вычислить
30. Пример 1. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если - единичные векторы и
31. Пример 2. Найти вектор ортогональный векторам , если и вектор образует тупой угол с осью Oz.
32. §6. Смешанное произведение векторов Пусть вектор векторно умножается на вектор затем получившийся вектор скалярно умножается на
35. Тогда
36. Пример. Вычислить смешанное произведение векторов
37. Применения смешанного произведения 1. Проверка компланарности трех векторов: компланарны 2. Проверка принадлежности четырех точек A, B,
39. Скачать презентацию

Слайд 2

Схема вычисления определителя второго порядка
(произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов

побочной диагонали).
Пример. Вычислить

Вычислительная математика

Слайд 3

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
и равное
Вычислительная математика
.

Слайд 4

Схема вычисления определителя третьего порядка
(правило треугольника)
Вычисление определителя третьего порядка методом

разложения по первой строке:

Вычислительная математика

Слайд 5

Пример. Вычислить определитель двумя способами
Вычислительная математика

Слайд 6

§2. Вектор. Линейные операции над векторами.
Вектор – множество направленных отрезков,

имеющих общее направление и одинаковую длину. Направленный отрезок – отрезок, у которого указаны начало и конец.
Обозначения:
Длина вектора (модуль вектора) – длина соответствующего направленного отрезка, обозначают

Вычислительная математика

Слайд 7

Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым, обозначают (у такого вектора

совпадают начальная и конечная точки).
Вектор, длина которого равна 1, называется единичным, обозначают
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора называется ортом вектора обозначают

Вычислительная математика

Слайд 8

Вектор называется противоположным вектору
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат

на одной прямой или на параллельных прямых, обозначают
Если то причем при
(векторы сонаправлены), при
(векторы противоположно направлены).

Вычислительная математика

Слайд 9

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину:
Три

вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два вектора коллинеарны, то такие векторы будут компланарны.

Вычислительная математика

Слайд 10

Линейные операции над векторами:
‑ сложение векторов;
‑ вычитание векторов;
‑ умножение вектора на

число.

Вычислительная математика

Слайд 11

§3. Базис. Координаты вектора в базисе
Базис на плоскости – это упорядоченная

пара неколлинеарных векторов
Если векторы ортогональны (перпендикулярны), то базис называется ортогональным.
Если длины векторов равны единице, то базис называется нормированным.
Ортонормированный базис на плоскости обозначают

Слайд 12

Пусть ‑ произвольный вектор на плоскости.
От произвольной точки О отложим

векторы, равные
и
Следовательно существуют числа
Тогда
Говорят, что вектор разложен по базису
Коэффициенты разложения называют координатами вектора в базисе

Слайд 13

Разложение вектора по базису в пространстве
Базис в пространстве – это три

некомпланарных вектора взятых в определенном порядке.
Тогда произвольный вектор
Длина вектора

Слайд 14

Значения
называются направляющими косинусами вектора , причем
Направляющие косинусы совпадают

с координатами орта

Слайд 15

Свойства координат вектора:
1) при умножении вектора на число его координаты умножаются

на это же число;
2) при сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются);
3) Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Слайд 16

Координаты точки.
Их связь с координатами вектора
Рассмотрим точку А. Вектор называют

радиус-вектором точки А, а его координаты – координатами точки А в базисе или в системе координат Oxyz, принято обозначение:
Координаты вектора через можно найти по координатам его начальной точки и конечной точки

Слайд 17

§4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению

длин этих векторов на косинус угла между ними:
Если то
Произведение называют скалярным квадратом вектора и обозначают

Слайд 18

Свойства скалярного произведения:
1) скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и

только тогда, когда эти векторы ортогональны;
2) скалярное произведение векторов коммутативно
3) свойство линейности:

Слайд 19

Пример. Вычислить если

Слайд 20

Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе
Рассмотрим ортонормированный базис
Пусть
Тогда

Слайд 21

Слайд 22

Пример 1. Найти длину вектора если
Вычислительная математика

Слайд 23

Пример 2. Найти вектор коллинеарный вектору если его проекция на вектор
равна

Вычислительная математика

Слайд 24

§5. Векторное произведение векторов
Понятие правой и левой тройки векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных

векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки.
В противном случае тройка векторов называется левой.
На рис. тройка векторов - правая,
- левая тройка.

Слайд 25

Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , длина и

направление которого определяются следующими условиями:
1.
2.
3. - правая тройка (если ).

Слайд 26

Свойства векторного произведения:
1. (антикоммутативность);
2.
3.
(условие коллинеарности двух векторов).

Слайд 27

Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
Пусть
Тогда

Слайд 28

Пример. Вычислить

Слайд 29

Слайд 30

Пример 1. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если - единичные векторы и

Слайд 31

Пример 2. Найти вектор ортогональный векторам
, если и вектор

образует тупой угол с осью Oz.

Слайд 32

§6. Смешанное произведение векторов
Пусть вектор векторно умножается на вектор затем получившийся

вектор скалярно умножается на вектор В результате получается число, которое называется векторно-скалярным или смешанным произведением векторов и обозначается
Таким образом,

Слайд 33

Слайд 34

Слайд 35

Тогда

Слайд 36

Пример. Вычислить смешанное произведение векторов

Слайд 37

Применения смешанного произведения
1. Проверка компланарности трех векторов:
компланарны
2. Проверка принадлежности

четырех точек A, B, C, D одной плоскости α:
3. Вычисление объемов пирамиды и параллелепипеда, построенных на векторах , и их высоты hc , опущенной из конца вектора

Векторная алгебра

Содержание

Схема вычисления определителя второго порядка(произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое и равное Вычислительная математика.

Схема вычисления определителя третьего порядка (правило треугольника)Вычисление определителя третьего порядка методом

Пример. Вычислить определитель двумя способами Вычислительная математика

§2. Вектор. Линейные операции над векторами. Вектор – множество направленных отрезков,

Вектор, длина которого равна 0, называется нулевым, обозначают (у такого вектора

Вектор называется противоположным вектору Два вектора называются коллинеарными, если они лежат

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину: Три

Линейные операции над векторами:‑ сложение векторов;‑ вычитание векторов;‑ умножение вектора на

§3. Базис. Координаты вектора в базисеБазис на плоскости – это упорядоченная

Пусть ‑ произвольный вектор на плоскости. От произвольной точки О отложим

Разложение вектора по базису в пространствеБазис в пространстве – это три

Значения называются направляющими косинусами вектора , причем Направляющие косинусы совпадают

Свойства координат вектора:1) при умножении вектора на число его координаты умножаются

Координаты точки. Их связь с координатами вектораРассмотрим точку А. Вектор называют

§4. Скалярное произведение векторовСкалярным произведением векторов и называется число, равное произведению

Свойства скалярного произведения:1) скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и

Пример. Вычислить если

Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисеРассмотрим ортонормированный базисПусть Тогда

Пример 1. Найти длину вектора если Вычислительная математика

Пример 2. Найти вектор коллинеарный вектору если его проекция на векторравна

§5. Векторное произведение векторовПонятие правой и левой тройки векторовУпорядоченная тройка некомпланарных

Векторным произведением двух векторов и называется такой вектор , длина и

Свойства векторного произведения:1. (антикоммутативность);2.3. (условие коллинеарности двух векторов).

Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисеПустьТогда

Пример. Вычислить

Пример 1. Вычислить площадь параллелограмма ABCD, если - единичные векторы и

Пример 2. Найти вектор ортогональный векторам , если и вектор

§6. Смешанное произведение векторовПусть вектор векторно умножается на вектор затем получившийся

Тогда

Пример. Вычислить смешанное произведение векторов

Применения смешанного произведения1. Проверка компланарности трех векторов: компланарны 2. Проверка принадлежности

Похожие презентации

Схема вычисления определителя второго порядка
(произведение элементов главной диагонали минус произведение элементов

Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое
и равное
Вычислительная математика
.

Схема вычисления определителя третьего порядка
(правило треугольника)
Вычисление определителя третьего порядка методом

Пример. Вычислить определитель двумя способами
Вычислительная математика

§2. Вектор. Линейные операции над векторами.
Вектор – множество направленных отрезков,

Вектор называется противоположным вектору
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину:
Три

Линейные операции над векторами:
‑ сложение векторов;
‑ вычитание векторов;
‑ умножение вектора на

§3. Базис. Координаты вектора в базисе
Базис на плоскости – это упорядоченная

Пусть ‑ произвольный вектор на плоскости.
От произвольной точки О отложим

Разложение вектора по базису в пространстве
Базис в пространстве – это три

Значения
называются направляющими косинусами вектора , причем
Направляющие косинусы совпадают

Свойства координат вектора:
1) при умножении вектора на число его координаты умножаются

Координаты точки.
Их связь с координатами вектора
Рассмотрим точку А. Вектор называют

§4. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению

Свойства скалярного произведения:
1) скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и

Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе
Рассмотрим ортонормированный базис
Пусть
Тогда

Пример 1. Найти длину вектора если
Вычислительная математика

Пример 2. Найти вектор коллинеарный вектору если его проекция на вектор
равна

§5. Векторное произведение векторов
Понятие правой и левой тройки векторов
Упорядоченная тройка некомпланарных

Свойства векторного произведения:
1. (антикоммутативность);
2.
3.
(условие коллинеарности двух векторов).

Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе
Пусть
Тогда

Пример 2. Найти вектор ортогональный векторам
, если и вектор

§6. Смешанное произведение векторов
Пусть вектор векторно умножается на вектор затем получившийся

Применения смешанного произведения
1. Проверка компланарности трех векторов:
компланарны
2. Проверка принадлежности