Вероятность. Вычисление вероятности

Июль 29, 2022

Главная
Математика
Вероятность. Вычисление вероятности

Содержание

2. Вопросы по предыдущей лекции Что такое множество? Чем определяются соотношения между множествами? Зачем нужны диаграммы Эйлера-Венна?
3. Вопросы по предыдущей лекции Множество В является подмножеством А. Чему равно их пересечение? объединение? Перечислите операции
4. Вопросы по предыдущей лекции Что такое объединение множеств? Что такое пересечение множеств? Что такое разность множеств?
5. Вопросы по предыдущей лекции Что такое событие? Что называется достоверным событием? Что такое случайное событие? Что
6. 2.3. Вероятность Вероятность – численная мера степени объективной возможности наступления случайного события. Обозначение: Р(А) 06.10.17 Занятие
7. Аксиомы вероятности 1. Р(А) – число от 0 до 1 2. Р(S) = 1; P(U) =
8. Как вычислить вероятность? Есть 2 подхода: 1. На основе рассуждений (априорные вероятности, то есть «до опыта»).
9. 1. Априорное (классическое) определение вероятности Если результат опыта можно представить в виде группы равновозможных гипотез (исходов),
10. 2. Апостериорное (статистическое) определение вероятности Вероятность события А равна: Р(А) = lim m/n n → ∞
11. Условная вероятность Пусть вероятность события А зависит от того, произошло или не произошло событие В. Такие
12. Независимые события События называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятности второго. То есть,
13. Умножение вероятностей а) Независимые события Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙ Р(А2) ∙
14. Сложение вероятностей а) Совместные и независимые события Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ)
15. Сложение вероятностей б) Совместные и зависимые события Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)
16. Сложение вероятностей в) Несовместные события Р(А + В) = Р(А) + Р(В) Р(А1 + А2 +
17. Сложение вероятностей г) Противоположные события Р(А) + Р(А) = 1 д) Группа гипотез Р(Н1) + Р(Н2)
18. Формула полной вероятности Пусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез. Пусть событие А может
19. К формуле полной вероятности Н1 Н2 Н3 Н4
20. К формуле полной вероятности А
21. К формуле полной вероятности А Н1 Н2 Н3 Н4
22. К формуле полной вероятности А Н2 Н3 Н4 А А Н1 А Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) +
23. Формула Байеса Пусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез. Пусть событие А может наступить
24. В формуле Байеса: Дано: Р(Нi) – априорная вероятность гипотезы Нi (насколько вероятна причина вообще Нi, то
25. Пример применения формулы Байеса По линии связи посылаются сигналы 1 и 0 с вероятностями 0,6 и
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Вопросы по предыдущей лекции
Что такое множество?
Чем определяются соотношения между множествами?
Зачем нужны

диаграммы Эйлера-Венна?
Приведите определение и пример пересекающихся множеств.
Приведите определение и пример ситуации, когда множество В является подмножеством А.

Слайд 3

Вопросы по предыдущей лекции
Множество В является подмножеством А. Чему равно их

пересечение? объединение?
Перечислите операции над множествами.

Слайд 4

Вопросы по предыдущей лекции
Что такое объединение множеств?
Что такое пересечение множеств?
Что такое

разность множеств?
Что такое дополнение множества?

Слайд 5

Вопросы по предыдущей лекции
Что такое событие?
Что называется достоверным событием?
Что такое случайное

событие?
Что такое совместные события?
Что такое несовместные события?
Какие события называются противоположными?
Что такое полная группа событий?
Что такое группа гипотез?
В каком случае гипотезы называются равно-возможными?

Слайд 6

2.3. Вероятность
Вероятность – численная мера степени объективной возможности наступления случайного события.
Обозначение:
Р(А)
06.10.17
Занятие 3

Слайд 7

Аксиомы вероятности
1. Р(А) – число от 0 до 1
2. Р(S) =

1; P(U) = 1; P(V) = 0
3. Если А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
На основе этих аксиом строится вся теория вероятности.
Из аксиомы 3 следует: Р(А) = 1 – Р(А)

Слайд 8

Как вычислить вероятность?
Есть 2 подхода:
1. На основе рассуждений (априорные вероятности, то

есть «до опыта»).
2. На основе опыта (апостериорные вероятности, то есть «после опыта»).

Слайд 9

1. Априорное (классическое) определение вероятности
Если результат опыта можно представить в виде

группы равновозможных гипотез (исходов), то вероятность события А равна:
Р(А) = m/n,
где m – число исходов, благоприятствующих событию А;
n – общее число всех возможных исходов.

Слайд 10

2. Апостериорное (статистическое) определение вероятности
Вероятность события А равна:
Р(А) = lim m/n

n → ∞
где m – количество появлений события А;
n – количество испытаний при достаточно большом их числе

Слайд 11

Условная вероятность
Пусть вероятность события А зависит от того, произошло или не

произошло событие В.
Такие события называются зависимыми.
Такая вероятность называется условной:
Р(А|В) - вероятность А при условии В
или
РВ(А)
Формула для вычисления условной вероятности:
Р(А|В) = Р(АВ) / Р(В)

Слайд 12

Независимые события
События называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет

вероятности второго.
То есть, когда:
Р(А|В) = Р(А)

Слайд 13

Умножение вероятностей
а) Независимые события
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В)
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙

Р(А2) ∙ … ∙ Р(Аn)
б) Зависимые события
Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(B|A)
Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙ Р(А2|A1) ∙ Р(А3|A1A2) ∙ …

Слайд 14

Сложение вероятностей
а) Совместные и независимые события
Р(А + В) = Р(А) +

Р(В) – Р(АВ)
Р(А + В + С) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(ВС) – Р(АС) + Р(АВС)
Р(А + В + С + D) =
= Р(А) + Р(В) + Р(С) + Р(D) – – Р(АВ) – Р(AС) – Р(AD) – Р(BC) – Р(BD) – Р(СD) + + Р(АВС) + Р(АВD) + Р(AСD) + Р(ВСD) – P(ABCD)

Слайд 15

Сложение вероятностей
б) Совместные и зависимые события
Р(А + В) = Р(А) +

Р(В) – Р(А) ∙ Р(В|А)

Слайд 16

Сложение вероятностей
в) Несовместные события
Р(А + В) = Р(А) + Р(В)
Р(А1 +

А2 + … + Аn) = Р(А1) + Р(А2) + … + Р(Аn)

Слайд 17

Сложение вероятностей
г) Противоположные события
Р(А) + Р(А) = 1
д) Группа гипотез
Р(Н1) +

Р(Н2) + … + Р(Нn) = 1

Слайд 18

Формула полной вероятности
Пусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез.
Пусть

событие А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез.
Тогда вероятность события А равна:
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2) +…+Р(Нn)∙Р(А|Нn)

Слайд 19

К формуле полной вероятности
Н1
Н2
Н3
Н4

Слайд 20

К формуле полной вероятности
А

Слайд 21

К формуле полной вероятности
А
Н1
Н2
Н3
Н4

Слайд 22

К формуле полной вероятности
А
Н2
Н3
Н4
А
А
Н1
А
Р(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2) + + Р(Н3)∙Р(А|Н3)

+ Р(Н4)∙Р(А|Н4)

Слайд 23

Формула Байеса
Пусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез.
Пусть событие

А может наступить лишь при условии появления одной из гипотез.
Проведён опыт, в результате которого появилось событие А.
Тогда вероятность того, что событие А произошло в результате определённой гипотезы Нi , равна:

Слайд 24

В формуле Байеса:
Дано:
Р(Нi) – априорная вероятность гипотезы Нi (насколько вероятна причина

вообще Нi, то есть до опыта);
Р(A|Нi) – вероятность события А при истинности гипотезы Нi.
Найти:
Р(Нi|A) – апостериорная вероятность гипотезы Нi (насколько вероятна причина Нi с учетом факта происшедшего события А, то есть после опыта);
Итак, формула Байеса позволяет переставить причину и следствие, то есть
по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано конкретной заданной причиной.

Слайд 25

Пример применения формулы Байеса
По линии связи посылаются сигналы 1 и 0

с вероятностями 0,6 и 0,4.
Если посылается сигнал 1, то с вероятностями 0,9 и 0,1 принимаются сигналы 1 и 0.
Если посылается сигнал 0, то с вероятностями 0,3 и 0,7 принимаются сигналы 1 и 0.
Какова условная вероятность того, что посылается сигнал 1 при условии, что принимается сигнал 1?

Вероятность. Вычисление вероятности

Содержание

Вопросы по предыдущей лекцииЧто такое множество?Чем определяются соотношения между множествами?Зачем нужны

Вопросы по предыдущей лекцииМножество В является подмножеством А. Чему равно их

Вопросы по предыдущей лекцииЧто такое объединение множеств?Что такое пересечение множеств?Что такое

Вопросы по предыдущей лекцииЧто такое событие?Что называется достоверным событием?Что такое случайное

2.3. ВероятностьВероятность – численная мера степени объективной возможности наступления случайного события.Обозначение:Р(А)06.10.17Занятие 3

Аксиомы вероятности1. Р(А) – число от 0 до 12. Р(S) =

Как вычислить вероятность?Есть 2 подхода:1. На основе рассуждений (априорные вероятности, то

1. Априорное (классическое) определение вероятностиЕсли результат опыта можно представить в виде

2. Апостериорное (статистическое) определение вероятностиВероятность события А равна:Р(А) = lim m/n

Условная вероятностьПусть вероятность события А зависит от того, произошло или не

Независимые событияСобытия называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет

Умножение вероятностейа) Независимые событияР(АВ) = Р(А) ∙ Р(В)Р(А1А2…Аn) = Р(А1) ∙

Сложение вероятностейа) Совместные и независимые событияР(А + В) = Р(А) +

Сложение вероятностейб) Совместные и зависимые событияР(А + В) = Р(А) +

Сложение вероятностейв) Несовместные событияР(А + В) = Р(А) + Р(В)Р(А1 +

Сложение вероятностейг) Противоположные событияР(А) + Р(А) = 1д) Группа гипотезР(Н1) +

Формула полной вероятностиПусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез.Пусть

К формуле полной вероятностиН1Н2Н3Н4

К формуле полной вероятностиА

К формуле полной вероятностиАН1Н2Н3Н4

К формуле полной вероятностиАН2Н3Н4ААН1АР(А) = Р(Н1)∙Р(А|Н1) + Р(Н2)∙Р(А|Н2) + + Р(Н3)∙Р(А|Н3)

Формула БайесаПусть Н1, Н2, … , Нn – группа гипотез.Пусть событие

В формуле Байеса:Дано:Р(Нi) – априорная вероятность гипотезы Нi (насколько вероятна причина

Пример применения формулы БайесаПо линии связи посылаются сигналы 1 и 0

Похожие презентации