Введение в комбинаторику и теорию вероятностей

Комбинаторика.

«комбинаторика» происходит от латинского слова combinare – «соединять, сочетать».

Определение. Комбинаторика –

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3,

Квадратные числа

Треугольные числа

Прямоугольные и непрямоугольные числа.

Факториал.

Таблица факториалов:

Определение. Факториалом натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел

Перестановки.

Определение. Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок элементов.

Число всевозможных

Пример 1.
Сколькими способами могут быть расставлены восемь участниц финального забега

Пример 2.
Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 0,

Пример 3.
Имеется 10 различных книг, среди которых есть трёхтомник одного

Размещения.

Определение. Размещением

из n элементов

, называют

конечного множества по k, где

Пример 1.
Из 12 учащихся нужно отобрать по одному человеку для

Пример 2.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры

Пример 3.
Сколько существует трёхзначных чисел, составленных из цифр 1, 2,

Сочетания.

Определение. Подмножества, составленные из n элементов данного множества и содержащие k

Треугольник Паскаля

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6

Треугольник Паскаля

Треугольник Паскаля

…

Пример 1.
Сколькими способами можно выбрать трёх дежурных из класса, в

Пример 2.
Из вазы с цветами, в которой стоят 10 красных

Пример 3.
Семь огурцов и три помидора надо положить в два

Частота и вероятность.

Определение. Частотой случайного события в серии испытаний называется отношение

Частота и вероятность.

Определение. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для

Пример 1. В урне 10 одинаковых шаров разного цвета: 2 красных,

Пример 2.
Коля и Миша бросают два игральных кубика. Они договорились,

Решение:

Пример 3.
Из собранных 10 велосипедов только 7 не имеют дефектов.

Сложение вероятностей.

D и E называются несовместными событиями.

Сложение вероятностей.

Вероятность наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна

Пример 1.
В урне находятся 30 шаров 10 белых, 15 красных

Пример 2.
В контейнере 10 деталей, из низ 2 нестандартные. Найдите

- благоприятные события для А

- благоприятные
события для В

Умножение вероятностей.

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Пример 1.
Монету бросают 3 раза подряд. Какова вероятность, что решка

Пример 2.
Вероятность попадания в цель при стрельбе из первого