Выпуклый анализ. Субградиент и субдифференциал функции. Лекция 21

7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)

7.2. Критерий существование субградиента функции.

7.2. Критерий существования субградиента функции.

Теорема 2.

Доказательство. Необходимость.

Необходимость доказана.

Достаточность.

по теореме 3.7

Имеются две возможности

По первому критерию выпуклости

следует, что

отделяющая множества

и

имеет место неравенство

От противного

из (4) находим

Тогда из (5)

последнее неравенство возможно только если

Получили противоречие.

В результате получим

и перепишем

Тогда

Теорема доказана.