Выпуклый анализ. Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами. Лекция 14

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

4.1. Надграфик выпуклой

4.1. Надграфик выпуклой функции.

Определение 1.

называется множество

Теорема 1.

была выпуклой,

Необходимость доказана.

Достаточность.

Тогда

Теорема доказана.

Упражнение.

Решение.

Искомое множество строится как пересечение двух множеств

Очевидно, что они выпуклы.

Тогда выпукло

Доказательство.

и определения множества Лебега выводим

Теорема доказана.

Заметим, что обратное

Определение 3.

Упражнение 1.

Показать, что это направление единственно.

Решение.

имеет действительные корни.

Действительно,

Дискриминант этого уравнения

Покажем, что не всякое неограниченное множество имеет рецессивные направления.

является

Лемма 1.

Замкнутое неограниченное выпуклое множество

Доказательство.

Полагаем

Теорема 3.

ограниченно.

Доказательство.

Лемма доказана.

Зафиксируем точку

Тогда

Заметим, что для всех

имеет место

В силу леммы

имеем

Полученное противоречие доказывает теорему.

4.3. Опорная функция подмножества пространства

Определение 4.

определенная формулой

Максимум в

Решение.

Свойство 1.

Опорная функция является положительно однородной.

Доказательство.

Свойство 2.

Доказательство.

Свойство 4.

Доказательство.

Следствие.

Справедливо равенство

Доказательство.

Пример 3.

Решение.

В силу представления

Свойство 5.

Доказательство.

Следствие 1.

Доказательство.

Вытекает из предыдущего следствия и свойства 1.

Свойство 6.

Доказательство.

Тогда