Содержание
- 2. Метод Монте-Карло – это … Ме́тод Мо́нте-Ка́рло (методы Монте-Карло) — общее название группы численных методов, основанных
- 3. Алгоритм Буффона для определения числа Пи Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно.
- 4. Алгоритм Буффона для определения числа Пи Вероятность (как видно из дальнейшего контекста, речь идёт не о
- 5. Алгоритм Буффона для определения числа Пи Этот интеграл просто взять: (при условии, что r > L),
- 6. Алгоритм Буффона для определения числа Пи В 1864 году капитан Фокс, выздоравливая после ранения, чтобы как-то
- 7. Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце 19-го века.
- 8. Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений В 1933 году Петровский показал, что случайное блуждание, образующее Марковскую
- 9. Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон
- 10. Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе Идея была развита Станиславом Уламом, который, по иронии судьбы, также как
- 11. Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные
- 12. Рождение метода Монте-Карло в Лос-Аламосе Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит
- 13. Дальнейшее развитие и современность В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные
- 14. Интегрирование методом Монте-Карло Численное интегрирование функции детерминистическим методом Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся
- 15. Интегрирование методом Монте-Карло Численное интегрирование функции детерминистическим методом Предположим, что для функции, представленной на рисунке, достаточно
- 16. Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования Численное интегрирование функции методом Монте-Карло Для определения площади под графиком функции можно
- 17. Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем
- 18. Использование выборки по значимости Очевидно, что точность вычислений можно увеличить, если область, ограничивающая искомую функцию, будет
- 19. Применение в физике Компьютерное моделирование играет в современной физике важную роль и метод Монте-Карло является одним
- 20. Алгоритм Метрополиса Традиционно метод Монте-Карло применялся для определения различных физических параметров систем, находящихся в состоянии термодинамического
- 21. Прямое моделирование методом Монте-Карло Прямое моделирование методом Монте-Карло какого-либо физического процесса подразумевает моделирование поведения отдельных элементарных
- 22. Прямое моделирование методом Монте-Карло Примеры прямого моделирования методом Монте-Карло: Моделирование облучения твёрдых тел ионами в приближении
- 23. Квантовый метод Монте-Карло Квантовый метод Монте-Карло широко применяется для исследования сложных молекул и твёрдых тел. Это
- 25. Общее представление о методе Метод Монте–Карло — это численный метод решения математических задач при помощи моделирования
- 26. Происхождение метода Монте-Карло Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 г., когда появилась статья под названием
- 27. Происхождение метода Монте-Карло Для того чтобы понять, о чем пойдет речь, рассмотрим простой пример. Предположим, что
- 28. Квантовый метод Монте-Карло Выберем внутри квадрата множество случайных точек N. Обозначим через N' число точек, попавших
- 29. Две особенности метода Монте-Карло Первая особенность метода - простая структура вычислительного алгоритма. Как правило, составляется программа
- 30. Две особенности метода Монте-Карло Вторая особенность метода - погрешность вычислений, как правило, пропорциональна , где D
- 31. Задачи, решаемые методом Монте-Карло Во-первых, метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные
- 32. Задачи, решаемые методом Монте-Карло Вернемся к примеру (рис.1). Для расчета нам нужно было выбирать случайные точки
- 33. Задачи, решаемые методом Монте-Карло Результат такого опыта изображен на рис. 2. В этом опыте N =
- 34. Задачи, решаемые методом Монте-Карло Нетрудно понять, что наш метод вычисления площади будет справедлив только тогда, когда
- 35. Случайные величины За последние десятилетия неизмеримо выросла роль, которую играет теория вероятностей в современном естествознании. После
- 36. Случайные величины До некоторого времени теория вероятностей представляла собой еще не сложившуюся математическую науку, в которой
- 37. Некоторые определения Опыт — это осуществление какого-либо комплекса условий, который может быть воспроизведен много раз. Под
- 38. Некоторые определения Составное событие — это совокупность элементарных событий. Пример событий: Игральный кубик подбрасывается два раза.
- 39. Некоторые определения Генеральной совокупностью называют совокупность событий, которые могут быть реализованы в результате бесконечного числа однотипных
- 40. Некоторые определения Случайной величиной будем называть величину, которая в результате опыта (наблюдения, испытания) может принять одно
- 41. Некоторые определения События будем называть равновозможными, если мера их "благоприятствия" одинакова. В реальных условиях, когда количество
- 42. Некоторые определения Отметим, что по принятому в теории вероятностей соглашению вероятность произвольного события полагается изменяющейся от
- 43. Некоторые определения Однако математик употребляет эти же слова, вкладывая в них вполне определенное содержание. Действительно, говорит
- 44. Дискретные случайные величины Характеристики дискретных случайных величин Случайная величина y называется дискретной, если она может принимать
- 45. Дискретные случайные величины Точнее говоря, вероятность того, что случайная величина y примет значение yi (обозначим ее
- 46. Математическое ожидание, мода, медиана Математическим ожиданием дискретной случайной величины y называется сумма произведений всех ее возможных
- 47. Математическое ожидание, мода, медиана Усреднение с весами очень часто встречается в самых различных областях науки. Например,
- 48. Математическое ожидание, мода, медиана Отметим основные свойства математического ожидания. Если с - какая-нибудь не случайная величина,
- 49. Математическое ожидание, мода, медиана Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность
- 50. Математическое ожидание, мода, медиана Математическое ожидание, мода и медиана случайной величины по-разному характеризуют усредненное значение случайной
- 51. Дисперсия Дисперсией дискретной случайной величины называется число D(y) = М(y - М(y) )2 = (10) Следовательно,
- 52. Дисперсия Если мы будем наблюдать величину y много раз и получим значения y1, y2, ..., yn,
- 53. Дисперсия Отметим основные свойства дисперсии. Если с - какая-нибудь не случайная величина, то D(y +c) =
- 54. Дисперсия Для независимых случайных величин y и z справедливы следующие соотношения: М(y z) = М(y)M(z), (15)
- 55. Дисперсия Рассмотрим еще один пример. Возьмем случайную величину θ Реализацией этой величины можно считать игру в
- 56. Непрерывные случайные величины Предположим, что на плоскости в начале координат расположено некоторое количество радия. При распаде
- 57. Непрерывные случайные величины Непрерывная случайная величина ξ определяется заданием интервала (а,b), содержащего возможные значения этой величины,
- 58. Непрерывные случайные величины На рис. 3 заштрихованная площадь равна значению этого интеграла. Множество значений ξ может
- 59. Непрерывные случайные величины Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число (20) Смысл этой характеристики такой же,
- 60. Непрерывные случайные величины Рассмотрим пример. Случайная величина γ, определенная в интервале (0,1) и имеющая плотность р(х)=1,
- 61. Нормальные случайные величины Нормальной (или гауссовской) случайной величиной называется случайная величина ζ, определенная на всей оси
- 62. Нормальные случайные величины В самом деле, легко видеть, что (22) Если уменьшать σ, то mах р(х)
- 63. Нормальные случайные величины На рис. 4 построены две нормальные плотности, соответствующие а = 0, σ =
- 64. Правило «трех сигм» Вероятность попадания реализаций нормально распределенной случайной величины в интервал a ± 3σ составляет
- 65. Центральная предельная теорема Эта замечательная теорема была впервые сформулирована П.Лапласом. Обобщением этой теоремы занимались многие выдающиеся
- 66. Центральная предельная теорема Рассмотрим теперь нормальную случайную величину ε с такими же параметрами: а = Nm,
- 67. Центральная предельная теорема Именно эта теорема объясняет, почему нормальные случайные величины так часто встречаются в природе.
- 68. Общая схема метода Монте-Карло Допустим, что нам требуется вычислить какую-то неизвестную величину т. Попытаемся придумать такую
- 69. Общая схема метода Монте-Карло Из (25) следует, что Если мы разделим выражение, стоящее в фигурной скобке,
- 70. Общая схема метода Монте-Карло Последнее соотношение перепишем в несколько ином виде: (26) Это - чрезвычайно важное
- 71. Общая схема метода Монте-Карло На практике очень часто предпочитают ориентироваться не на оценку сверху , а
- 72. Прохождение нейтронов сквозь пластинку Вероятностные законы взаимодействия отдельной элементарной частицы (нейтрона, фотона, мезона и др.) с
- 73. Прохождение нейтронов сквозь пластинку Рассмотрим простейший вариант задачи о прохождении нейтронов сквозь пластинку. Пусть на однородную
- 74. Прохождение нейтронов сквозь пластинку На рис. 5 изображены различные варианты взаимодействия нейтронов с пластинкой: а —
- 75. Прохождение нейтронов сквозь пластинку Взаимодействие нейтронов с веществом характеризуется в рассматриваемом случае двумя постоянными Σc и
- 76. Прохождение нейтронов сквозь пластинку Длина свободного пробега нейтрона λ (т. е. длина пути от столкновения до
- 77. Прохождение нейтронов сквозь пластинку Остается еще выяснить, как выбирать случайное направление нейтрона после рассеяния. Так как
- 78. Схема моделирования траекторий нейтронов Предположим, что нейтрон испытал k-e рассеяние внутри пластинки в точке с абсциссой
- 79. Схема моделирования траекторий нейтронов Проверим условие прохождения сквозь пластинку: xk+1>h. Если это условие выполнено, то счет
- 80. Схема моделирования траекторий нейтронов Выбираем очередное значение γ и проверяем условие поглощения: Если последнее неравенство выполнено,
- 81. Схема моделирования траекторий нейтронов Все γ написаны без индексов, так как имеется в виду, что каждое
- 82. Схема моделирования траекторий нейтронов Очевидно, искомые вероятности приближенно равны отношениям: На рис. 7 приведена блок-схема программы
- 84. Скачать презентацию