Системы уравнений и способы решения

для осознанного понимания
изложения теории и решения разнообразных задач
путём отбора оптимального способа решения и
успешной подготовки к итоговой аттестации
Проблема: необходимо было решить систему уравнений
но известных из школьного курса алгебры способов
решения было недостаточно

и
познакомиться с новыми способами решения систем
Основные задачи:
научиться решать системы нелинейных уравнений методом
почленного умножения и деления;
рассмотреть способ введения новых переменных и
использовать его при решении систем уравнений;
изучить теорию, связанную с симметрическими системами
уравнений, и научиться решать системы такого вида;
познакомиться с понятием однородных систем уравнений и
способом их решения

степени с двумя неизвестными вида
а1х + b1у = с1,
а2х + b2у = с2,
где а1, b1, с1, а2, b2, c2 – заданные числа, х, у - переменные, называется
линейной.
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

способ сложения

графический способ

способ подстановки

, р2 , …, рт – многочлены относительно переменных х1 , х2 , …, хп .

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Способ подстановки

Способ

Графический

способ

сложения

Метод почленного

уравнений системы

умножения и деления

Метод введения новой

переменной

х1, х2, …, хn может быть представлен в виде многочлена от основных симметрических многочленов σ1, σ2, …, σn

Теорема

Основными симметрическими многочленами двух переменных х и у являются многочлены σ1 = х + у и σ2 = ху, а в трёх переменных х, у и z - многочлены

называется симметрической, если все
многочлены р1(х1, х2, …, хn), …,
рm(х1,х2, …, хn) являются симметрическими
многочленами, то есть если их значения не
изменяются при любой перестановке
аргументов.

σ1 = х + у + z, σ2 = ху + уz + zх и σ3 = хуz.

ty, у = tx
При этом уравнение р(х, у, …, v) = 0 называется однородным уравнением степени n.

Многочлен р (х,у,…,v) степени n от переменных х, у, … , v называется однородным, если для любого числового набора переменных х, у,…,v и при любом фиксированном λ ≠ 0 имеет место тождество
p (λx, λy, …, λv) = λnp (x, y, …, v).

двумя переменными способом подстановки поступаем следующим образом:
выражаем из какого-нибудь уравнения системы одну переменную
через другую;
подставляя в другое уравнение системы вместо этой переменной
полученное выражение, решаем уравнение с одной переменной,
определяя её значение;
находим соответствующее значение второй переменной;
записываем ответ в виде пары значений (х; у)

строим графики каждого из уравнений системы;
находим координаты точки пересечения построенных графиков;
записываем в ответ координаты точки пересечения графиков уравнений

коэффициентов при одном из неизвестных;
складывая или вычитая почленно уравнения, получаем уравнение
с одной переменной, решая его, находим одно неизвестное;
подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной
системы, находим второе неизвестное;
записываем ответ в виде пары значений (х; у)

рисунок, находим приближенные
значения точек пересечения графиков: (0,4; 2,6), (3,6; 2,6).
Ответ: (0,4; 2,6), (3,6; 2,6).

у = х2- 4х + 4

(х – 2)2 + у2 =9

5 = 0,

Если у = 5, то х = 4; если у =0,5, то х = -0,5.

Ответ: (-0,5; 0,5), (4; 5).

Решая второе уравнение системы

находим его корни:

9у + 2 = 0. Получим у1 =

, у2 = 1.

При подстановке у =

Таким образом, данная система имеет два решения (0; 1), (1; 1).

49х2-14х+5=0, которое не имеет решений; при у = 1 имеем уравнение х2-х=0,

в первое уравнение системы, получим уравнение

имеющее корни х=0 и х=1.

Ответ: (0; 1), (1; 1).

(делим) уравнения системы почленно, при этом получая
более простую зависимость между переменными;
объединяя полученное уравнение с одним из уравнений исходной
системы, решаем новую систему уравнений.

Пример 1.

= 1,5;

у2 – 2,5у + 1 = 0

у1 = 0,5, у2 = 2.

х = 8;

При у = 0,5 первое уравнение системы примет вид: х + 0,125х = 9

если у = 2, то х + 8х = 9, то есть х = 1.

Ответ: (8; 0,5), (1; 2).

0), тогда уравнение примет вид:

6(ху)8 = (ху)8 + 3(ху)4 + 2

5(ху)8 – 3(ху)4 – 2 = 0.

t1 = 1, t2 = - 0,4

t = - 0,4 не удовлетворяет условию t 0.

Имеем одно уравнение: (ху)4 = 1

ху = -1 или ху = 1.

Получаем совокупность систем

уравнений:

Уравнение х8 = 1 имеет корни х1= -1, х2= 1.

то у = -1; если х = 1, то у = 1.

если

х = -1, то у = 1; если х = 1, то у = -1,

если х = -1,

Ответ: (-1; -1), (-1; 1), (1; -1), (1; 1).

5t2 – 3t – 2 = 0

переменная только в одно уравнение или две новых переменных сразу для обоих уравнений;
уравнение или уравнения решаются относительно новых переменных;
остаётся решить уже более простую систему уравнений, из которой находим искомое решение.

=1.

= t,

= z,

Пример.

Пусть

а

тогда система уравнений примет вид:

Если

то

Вернёмся к переменным х и у:

Пара чисел (1; 0,5) удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: (1; 0,5).

ОДЗ:

х

19t = 19

t =1.

t = 1,

2·1+3z = 8

3z = 6

z = 2.

х + у = u, ху = v, тогда система уравнений примет вид:

Ответ: (4; 1), (1; 4).

= 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы.

Пусть у ≠0. Тогда, разделив первое уравнение на у2 и полагая t = ,

получим уравнение

t2 - 2t – 3 = 0, которое имеет два корня: t1 = -1 и t2 = 3.

у1 = 2, у2 = -1,5

х1 = - 2, х2 = 1,5.

Корни второго уравнения первой системы

Корни второго уравнения второй системы у1 = 2, у2 = - 0,5

х1 = 6, х2 = - 1,5.

Ответ: (-1,5; -0,5), (-2; 2), (1,5; -1,5), (6; 2).