Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Метод вариации произвольных постоянных Линейные неоднородные ДУ второго поря

часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

(2)

Общим решением y уравнения (1) является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения
y = C1y1+C2y2 , соответствующего ему однородного уравнения:

( о структуре общего решения ЛНДУ)

известно общее решение соответствующего однородного уравнения методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

3/16

Пусть

- общее решение уравнения (2)

Заменим в общем решении постоянные С1 и С2 на неизвестные функции С1(х), С2(х) :

Чтобы функция (3) была решением уравнения (1), необходимо чтобы функции С1(х), С2(х) удовлетворяли системе уравнений:

(3)

(4)

системы частных решений уравнения (2).

Поэтому система (4) имеет единственное решение:

Интегрируя функции

находим С1(х), С2(х)

а затем по формуле (3) составляем частное решение уравнения (1).

исходного уравнения:

Составим систему:

с постоянными коэффициентами:

8/16

(5)

Согласно теореме 1, общее решение этого уравнения ищется в виде:

Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть уравнения f(x) имеет так называемый специальный вид:

неопределенных коэффициентов, заключается в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение (5) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

9/16

Правая часть имеет вид:

Уравнение (5) запишется в виде:

Частное решение ищем в виде:

где r – число, равное кратности α как корня характеристического уравнения;

записанный с неопределенными коэффициентами

- многочлен степени n,

общее решение соответствующего однородного уравнения:

Найдем частное решение исходного уравнения:

Подставим

в исходное уравнение:

степенях x:

Общее решение исходного уравнения:

решение ищем в виде:

где r – число, равное кратности α + iβ как корня характеристического уравнения;

неопределенными коэффициентами, где l - наивысшая степень многочленов P и Q, то есть:

- многочлены степени l, записанные с

общее решение соответствующего однородного уравнения:

Найдем частное решение исходного уравнения:

Число

является корнем хар. уравнения, поэтому r = 1