Абстрактное моделирование

Цель лекции.

Изложение основных понятий и методов моделирования технических процессов.
Этапы абстрактного моделирования.
Классификация

Физическая модель – это копия прибора, приспособления или машины, называемой натуральной,

Этапы абстрактного моделирования

Информационная модель
Логико-математическая модель
Алгоритм и программа
Исследование на ЭВМ
Интерпретация результатов, проверка

– это конкретное словесное описание ситуации, изучаемого явления, где отвечается на

Перед построением математических моделей необходимо составить информационную модель.
Классификация моделей по признаку

Классификация моделей:

детерминированные, к которым относятся статические (алгебраические) и динамические, представляемые в виде

Если расчет на модели дает результаты такого же порядка, как и

Детерминированные процессы:

Закон сохранения массы:
dV=(Q1-Q2).dt
при плотности Q1=Q2=const, dV – изменение объема жидкости

Детерминированные процессы:

2. Закон сохранения импульса силы или количества движения:
d(mV)=(ΣF).dt,
m –

Детерминированные процессы:

3. Закон сохранения момента количества движения.
Этот закон, как и предыдущий,

Детерминированные процессы:

4. Закон сохранения энергии:
гидромеханика:
P – давление, γ - объемный вес,

Детерминированные процессы:

Термодинамика
Эп+Эк=U=const
сумма потенциальной, кинетической и внутренней энергии есть величина постоянная.

Детерминированные процессы:

явления переноса:
диффузия;
внутреннее трение или вязкость;
теплопроводность.

Распространение молекул примеси в жидкости или газе при отсутствии макроскопических перемещений

Сила внутреннего трения равна
где η - коэффициент вязкости
Через газ, заключенный

Многие модели в электротехнике строятся на основании закона Ома для постоянного

Так как Q=V.C и dQ=i.dt, имеем dV/dt = i/C. Подставляя dV/dt

На основании первого закона Кирхгофа для сходящихся в точке токов имеем

В физике имеется группа уравнений в частных производных, известных под названием

Явление выделения
Пусть за время dt выделяется масса dm, определяемая выражением
-dm= p·m·dt,
где

Уравнение движения поплавка

Будем исходить из уравнения баланса массы. Изменение объема

Для короткого трубопровода справедливо соотношение:

где f(y), [м2] – функция высоты Н.

Динамические модели на основе модели поплавка

Учет колебаний воды в трубопроводе

где m – масса поплавка,

где a=γВS/m и 1/T=B/m.

при dE/dt ≠ 0 получаем типичный вынужденный колебательный процесс

Решение этого

Вероятностные (стохастические) модели

В стохастических моделях участвуют случайные величины.

рассмотрим процесс осаждения группы тяжелых частиц в канале при распределенной скорости

частицы испытывают воздействия турбулентных пульсаций скорости потока fx и fy

частицы

вычисляют два случайных числа, равномерно распределенных в пределах 0≤ р ≤1

скорости перемещения частиц будут следующими:
по высоте (вниз) — (u+fv)
по

Численный эксперимент состоит в последовательном опускании частиц и регистрации расстояния опускания

Пример построения математической модели с последующим усложнением

Необходимо построить математическую

При равновесии систем имеем уравнение баланса количества жидкости Q1+Q2=Q3

а также

Например, ς3=1500 кг/м3 при ς2= -1800 кг/м3, откуда

Q2=Q1·(ρ1- ρ3)/(ρ3- ρ2)=0,6·Q1

В динамике также будем исходить из уравнения сохранения массы - массового

Введем первое ограничение, что резервуар цилиндрический, и тогда dV=F·dh и dm=

Тогда Vd ρ = (Q1 ρ1+Q2 ρ2-Q3 ρ) dt

получаем

Решение -1/b ·ln(a-by)=x+c или

Рассмотрим более общую модель

dV=F·dh+h·dF=(Q1+Q2-Q3) · dt, где

При F=const, dV=F·dh

Баланс массы

Подставим вместо dv/dt

Марковские цепи

Для описания многих явлений, которые можно представить как совокупность

рассмотрим диффузионное осаждение тяжелых частиц в жидкости, приняв одномерную модель.

Частица,

Частицы могут переходить и на более удалённые слои, то есть Pi,i-j

Пользуясь матричным исчислением, можно представить переход из одной временной совокупности состояний

в

Например, при размерности матрицы, равной трем, имеем:

Тогда

Если речь идет о количестве частиц в замкнутом резервуаре, то соблюдается

Связь между дифференциальным уравнение в частных производных параболического типа и цепями

производные в виде конечных разностей

Конечно-разностный аналог уравнения

Обозначая

имеем

Обозначим также Рi,i=1-2c, Pi-1,i= - b+c, Pi+1,i= - b+c Так как

Формулы вычислений имеют вид

Формы для вычисления шага интегрирования или, точнее, дискретного

Имитационное моделирование

Имитационное моделирование является перспективным направлением моделирования явлений и процессов в

рассмотрим модель, в которой волк преследует зайца. Пусть в момент времени

Составим - дифференциальное уравнение, описывающее движение волка. Пусть за время dt

Так как при t=0 заяц находится в начале координат, то xz=Vz··