Атом водорода

Fкул = e2 / r2

е — элементарный заряд

Вектор состояния

| k 〉 = | x1, y1, z1, x2,

Н = Т1 + Т2 + U12 ,
Т1 = – (2/2m1)∇2(x1,

Уравнение на собственные значения для оператора Гамильтона в лабораторной декартовой системе

1) ГЛОБАЛЬНОЕ движение атома как материальной точки (центра масс) в лабораторной

Внешнее уравнение

Частица с массой
M = m1 + m2
в трехмерном

Внутреннее уравнение

Переход к сферической системе координат

Ψ(r, θ, Φ) =
= R(r) ⋅ Θ(θ) ⋅ Φ(φ)

Условие разрешимости системы
α = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36,

Ψ(r, θ, ϕ) = R(r) • Θ(θ) • Φ(ϕ)
Ψ(n, ,

{  ≥ | m | }

Θ-функции

{ n >  }

{  ≥ | m | }

{ n >  }

Полный

Ψ100

Ψ200

Ψ21–1

Ψ210

Ψ21+1

Ψ300

Ψ31–1

Ψ310

Ψ31+1

Ψ32–2

Ψ32–1

Ψ320

Ψ32+1

Ψ32+2

Номенклатура

Ψ100 = 1so
Ψ200 = 2so Ψ210 = 2po Ψ21–1 = 2p–1

Суперпозиционные состояния

Ψn = C–m ⋅ Ψn,–m + … + C+m ⋅

Ψn = C–m ⋅ Ψn,–m + … + C+m ⋅ Ψn,+m

2p-оболочка

2рx ~ 2p+1 + 2p–1 = e+iφ + e–iφ = R

2рx = R ⋅ sin θ ⋅ cos φ

+

3d-оболочка

Комплексный базис

Действительный базис

Нестационарные суперпозиционные состояния

Нестационарные состояния быстро релаксируют к одному из стационарных (τ

Физические характеристики атома водорода

Динамические наблюдаемые

А Ψ(r, θ, φ) = А ⋅ Ψ(r,

μ = 9,11 ⋅ 10–31 кг
е = 1,6 ⋅ 10–19

Энергетическая диаграмма

Е

r

n = 1
E1 = – R

n = 2
E2

Электронные переходы в атоме водорода

серия Лаймана

серия Бальмера

серия Пашена

Вырожденность уровней энергии

Степень вырождения = n2

Модуль и проекция вектора L

Lz = m = 0, ±

Пространственные наблюдаемые

Ψ(r, θ, φ) — не является собственной для операторов

2s – состояние

3s – состояние

Случай больших n

Число узловых точек = n – 1

2р-состояние

3р-состояние

+

–

Случай больших n

Число узловых точек = n – 2

Число радиальных узловых

Функция радиального распределения (ФРР)

ФРР(r) = |R(r)|2 ⋅ 4πr2

Она дает

Угловые зависимости

Y(θ, φ) = Θ(θ) • Φ(φ) (при R(r) = const)

2рz = R ⋅ cos θ

Полярная диаграмма

Z

По мере роста квантового числа  общее число узловых поверхностей не

Изовероятные поверхности (ИВП)

| Ψ(r, θ, ϕ) |2 = const

r

Спиновые характеристики электрона

Модуль | S |2 = 2 [ s

s = 1/2

ms = ( +1/2; –1/2 )

Ψ(r, θ,

Ψ(r, θ, φ, η) = Ψ(r, θ, φ) ⋅ Χ(η)

Квантовые

Спин-орбитальное взаимодействие

| L1 | = const
L1Z = const

| L2 |

| L1 | = const
L1Z = const

| L2 | =

Несвязанные
гироскопы

Cвязанные
гироскопы

Закон сохранения момента выполняется для обоих векторов ( L1 и L2

Атом водорода

Магнитные моменты взаимодействуют между собой — спин-орбитальное взаимодействие

Нерелятивистская модель

J = L + S

Релятивистская модель

| J | —

Вектор полного механического момента

j = ( + s), ( + s)

ns

 = 0 s = 1/2

j = 1/2
mj = {

nd

 = 2 s = 1/2

j1 =  + s

Нерелятивистские состояния

E

1s

2s

3s

2p

3p

3d

Нерелятивистская модель

Энергия зависит только от квантового числа n

E

1s

2s

3s

2p3/2

Релятивистская модель

2d3/2

2d5/2

2p1/2

2p3/2

2p1/2

Энергия зависит от квантовых чисел n (сильно) и  (слабо)

Домашнее задание

Задача 6.1.

Описать графически радиальные и угловые зависимости волновой функции

Задача 6.2.

Для заданного стационарного состояния { n, , m ,