Элементы аналитической механики

быть выполнены в виде шарниров, стержней, нитей, направляющих, поверхностей и т.д.

Примеры:

1) Две материальные точки соединены жёстким стержнем длиной l1.

2) Три материальные точки связаны нерастяжимыми нитями длиной l1 и l2.

3) Конёк движется по поверхности льда. Выпуклое лезвие конька касается поверхности льда в одной точке.

Положение конька в плоскости льда может быть любое, но скорость точки касания конька со льдом направлена вдоль конька.

от координат по времени t. Остальные связи являются неголономными.

2) Стационарные – если в уравнение голономной связи не входит явно время t. Если время t входит, то такая связь нестационарная.

3) Удерживающие – описываются при помощи уравнений. При помощи неравенств описываются неудерживающие связи.

2. Возможные перемещения для голономных систем

Пусть материальная точка перемещается по поверхности (уравнение связи):

(1)

При точка имеет координаты

Возможный закон перемещения точки с учётом уравнения (1) можно задать в параметрическом виде:

(2)

в тождество по параметру :

(3)

Вычислим полный дифференциал от тождества (3) и подставим значения координат . Получим уравнение, которому должны удовлетворять дифференциалы координат точки .

(4)

Среди всех возможных перемещений точки М реализуется только одно действительное, определяемое действующими силами. Чтобы отличить возможные перемещения от действительных, дифференциалы возможных перемещений обозначают: . Тогда уравнение (5) запишется в виде:

(5)

– вариации координат точки.

Уравнение (5) – варьированное уравнение связи.

- вектор возможных перемещений точки М из положения М0.

М. Уравнение (5) можно записать в виде скалярного произведения двух векторов:

(6)

направлен по нормали к поверхности, описываемой уравнением

Геометрический смысл уравнения (6) – вектор перпендикулярен к нормали, проведенной к поверхности связи. Этому условию удовлетворяют множество векторов, и все они лежат в касательной плоскости к поверхности связи , проведённой в точке М.

Вектор действительного перемещения в стационарной связи удовлетворяет условию (6), т.о. он является одним из векторов возможного перемещения.

, где - истинная скорость точки М.

, где - возможная скорость точки М.

Если связь нестационарная, т.е. уравнение связи имеет вид то фиксируется время t, и в этот момент вектор удовлетворяет уравнению (6). Т.е. для того, чтобы найти возможные перемещения в нестационарной связи, её нужно превратить в стационарную, зафиксировав время t.

истинном движении точки по нестационарной связи должно соблюдаться тождество

Таким образом, вектор действительного перемещения не будет удовлетворять уравнению (5), т.к.

Значит, в случае нестационарной связи действительное перемещение не является одним из частных случаев возможного:

При этом операция варьирования отличается от операции определения полного дифференциала тем, что t считается фиксированным, значит

3. Возможная работа

Возможной работой в данный момент времени t0 называется такая работа, которую совершили бы силы , приложенные к точкам системы на возможном перемещении точек системы.

называются идеальными, если возможная работа реакций связи на любом возможном перемещении системы из любого её положения равна нулю.

То есть, если - реакция связи, то для идеальных связей

Из уравнения видно, что реакция должна быть перпендикулярна к любому возможному перемещению точки.

5. Принцип возможных перемещений

Пусть система материальных точек под действием всех приложенных к ней сил и реакций связей находится в равновесии. Все связи системы будем считать идеальными.

Для одной материальной точки т.к. она находится в равновесии.

На любом возможном перемещении соответствующие возможные работы:

Просуммируем такие равенства для всех точек.

тогда

- принцип возможных перемещений

Это уравнение можно записать в виде:

- угол между векторами силы и возможного перемещения.

- вектор возможного перемещения

Принцип возможных перемещений даёт в общей форме условие равновесия для любой механической системы в целом, без расчленения системы на отдельные тела. В расчёте учитываются только активные силы, заранее исключаются из рассмотрения все неизвестные реакции связей, если связи идеальные.

! Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнения надо составить для каждого из независимых перемещений в отдельности

! Принципом возможных перемещений можно пользоваться и при наличии трения, включая силы трения в число активных сил.

! Этим методом можно находить реакции связей, если отбросить связь, заменив её реакцией и рассматривать, как активную силу.