Эллипс и его каноническое уравнение

1. Эллипс и его каноническое уравнение.

1. Эллипс и его каноническое уравнение.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,

F1

F1

F2

F1

F2

M

F1

F2

M

F1

F2

M

По определению |F1М | + |F2 М | =

F1

F2

M

По определению |F1М | + |F2 М | =

F1

F2

M

Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную

F1

F2

M

Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную

F1

F2

M

Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную

F1

F2

M

О

x

Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную

F1

F2

M

О

x

y

Для вывода канонического уравнения эллипса
зададим на плоскости прямоугольную

Так как |F1 F2 | = 2c,

Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе

Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе

Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе

Так как |F1 F2 | = 2c,
значит в выбранной системе

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)
Получим

По определению |F1М | + |F2 М | = 2a (1)

Если числа x и y удовлетворяют уравнению (2), то точка M

Если числа x и y удовлетворяют уравнению (2), то точка M

Докажем это утверждение

Пусть точка M (x; y) удовлетворяет уравнению (2), тогда

Таким образом, уравнение (2) есть уравнение эллипса, т.к. доказано, что координаты

2. Исследование формы эллипса.

Так как координаты x и y входят

Следует, что для координат любой точки имеет место
Геометрически это означает,

M(x,y)

О

x

y

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M1(x,-y)

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M1(x,-y)

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

y=-b

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

y=-b

А1

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

y=-b

А1

A2

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

y=-b

А1

B1

A2

F2

F1

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

y=-b

А1

B2

B1

A2

F2

F1

F2

M(x,y)

О

x

y

M2(-x,y)

M3(-x,-y)

M1(x,-y)

x=a

x=-a

y=b

y=-b

А1

B2

B1

A2

F1

F2

M

О

x

y

А1

B2

B1

A2

F1

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса
Полуосью эллипса

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса
Полуосью эллипса

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса
Полуосью эллипса

Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси

Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси

Отношение половины расстояния между фокусами эллипса (фокальное расстояние) к большей полуоси

3.Директрисы эллипса.

Две прямые перпендикулярные оси эллипса, на которой расположены его фокусы,

3.Директрисы эллипса.

Две прямые перпендикулярные оси эллипса, на которой расположены его фокусы,

F1

F2

M

О

x

y

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

x=-a/e

Теорема: Для того, чтобы точка лежала на эллипсе необходимо и достаточно, чтобы

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

r2

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

d2

r2

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

d2

r2

F1

F2

M

О

x

y

x=-a/e

F1

F2

M

О

x

y

x=-a/e

r1

F1

F2

M

О

x

y

x=-a/e

d1

r1

F1

F2

M

О

x

y

x=-a/e

d1

r1

F1

F2

M

О

x

y

x=a/e

d2

r2

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется
требуется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется
требуется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется
требуется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется
требуется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется
требуется

(=>) имеем точку M(x;y) принадлежащую эллипсу (2), для которой выполняется
требуется

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что точка

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что точка

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что точка

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что точка

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что точка

Пусть существует точка M(x;y), для которой выполняется докажем, что точка