Формула Мора. Правило Верещагина

Сущность интеграла Мора в следующем идеальном построении:
1. Прикладываем в интересующем направлении внешнюю силу Ф.
2. Составляем для системы выражение для потенциальной энергии деформации U.
3. Дифференцируем выражение для U по Ф и получаем выражение для перемещения в направлении действия Ф (то есть в интересующем направлении)
4. В полученном выражении приравниваем Ф=0, получаем окончательное выражение.

Таким образом фиктивная сила в зависимости от интересующего нас направления будет выражена:

- в случае продольной силы. Определяем продольное перемещение. N1 – единичная продольная сила приложенная в интересующей нас точке.

- в случае горизонтальной перерезывающей силы. Определяем прогиб в горизонтальной плоскости. Qz1 – единичная горизонтальная перерезывающая сила приложенная в интересующей нас точке.

- в случае вертикальной перерезывающей силы. Определяем прогиб в вертикальной плоскости. Qy1 – единичная горизонтальная перерезывающая сила приложенная в интересующей нас точке.

- в случае момента изгибающего в горизонтальной плоскости. Определяем угол поворота сечения в горизонтальной плоскости. My1 – единичный изгибающий момент в горизонтальной плоскости приложенный в интересующей нас точке.

- в случае момента изгибающего в вертикальной плоскости. Определяем угол поворота сечения в вертикальной плоскости. Mz1 – единичный изгибающий момент в вертикальной плоскости приложенный в интересующей нас точке.

- значения силовых факторов

до приложения силы Ф. (То есть в реально существующей системе)

Подставляем в формулу для внутренней энергии:

Решение

1. Строим эпюр изгибающего момента

Мx

x

М

l

Мx

x

М=-x

l

4. Составляем интеграл Мора

F=1

x

Mz

Mz=-xF=-x

ρ

φ2

ds

dφ

φ1

φ

Нарисуем вспомогательную единичную систему и нагрузим ее горизонтальной единичной силой в точке А.

В полярной системе координат положение произвольного сечения характеризуется радиусом-вектором ρ (в нашей задаче ρ = Const — радиус круга) и углом φ от произвольно выбранной начальной точки дуги.

Предположим, что необходимо взять интеграл от произведения двух функций

Пусть вторая из этих функций - линейная

Тогда

Первый интеграл – площадь эпюры f1(z)
Второй интеграл – статический момент этой эпюры относительно оси ординат

zЦТ – координата центра тяжести первого эпюра

h

ЦТ

h

ЦТ

h

ЦТ

1. Строим эпюр изгибающего момента от действительной нагрузки

3. Строим эпюр момента от приложенного единичного фактора

В основу вывода формулы положен принцип возможных перемещений

Пусть дана система, находящаяся под действием температуры. Обозначим: n — число участков системы; i - номер ее произвольного участка.
Для определения перемещения сечения С по направлению v рассмотрим систему без температуры, нагруженную безразмерной обобщенной единичной силой, приложенной в сечении С по направлению v.
Схему системы под действием температуры обозначим Т, а схему нагружения системы обобщенной единичной силой обозначим 1. Приняв за возможное перемещение системы ее деформированное состояние в схеме Т, найдем работу внешних, реактивных и упругих сил схемы нагружения 1 на этом возможном перемещении. По принципу возможных перемещений сумма этих работ равна нулю, так как система в состоянии 1 находится в равновесии.

Для определения работы сил упругости Ау рассмотрим один и тот же элемент, вырезанный из схемы Т и схемы 1 двумя поперечными сечениями, расcтояние dS между которыми бесконечно мало.

Силы упругости в поперечном сечении элемента могут привестись к шести внутренним силовым факторам, которым присваиваем индекс 1.

Обозначим температуры крайних верхних и нижних, правых и левых волокон i-го участка соответственно Тв, Tн и Тп , Tл. Считаем, что температура в направлениях осей у и z сечения изменяется линейно, будучи соответственно функцией только у и только z.

Температура на оси элемента

или

Пусть dδT — возможное перемещение центра тяжести поперечного сечения в схеме от изменения температуры элемента.

где α - коэффициент линейного расширения материала элемента.

Пусть dθTz - возможный относительный поворот концевых сечений элемента около оси z в схеме от изменения температуры

где - наибольший размер поперечного сечения в направлении оси у.

1. dAy — работа сил упругости в элементе dS по абсолютной величине равна работе внутренних силовых факторов состояния на возможных перемещениях состояния и противоположна ей по знаку, так как силы упругости всегда направлены в сторону, противоположную направлению изменения расстояния между точками тела.
2. Работа МК1, Qy1 и Qz1 равна нулю, так как концевые сечения элемента при нагреве относительно оси х не поворачиваются, a Qy1 и Qz1 перпендикулярны направлению dδT, поэтому

Подставляя сюда полученные ранее выражения и интегрируя полученное выражение по si —длине i-гo участка найдем работу сил упругости на i-м участке.