Гармонические колебания и их характеристики

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Гармонические колебания и их характеристики

Содержание

2. Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика *
3. Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры общей физики ТПУ Ф И З И К А Часть 3
4. Физика Кафедра общей физики Весенний семестр ИГНД , лектор Кузнецов С.И. 2008/2009 учебный год Гр. Лекции
5. Литература 1. Ю.И. Тюрин, И.П. Чернов, Ю.Ю. Крючков ФИЗИКА, Ч.3. Оптика. Квантовая физика. 2. И.В. Савельев,
6. Раздел V Колебания и волны
7. Тема 1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 1.1 Виды и признаки колебаний 1.2 Параметры гармонических колебаний 1.3 Графики смещения
8. Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком). Генерация акустической
9. Возможные типы колебаний атомов в кристалле. Поперечная волна в сетке, состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания
10. 1.1 Виды и признаки колебаний В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные
11. Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Говоря о колебаниях или осцилляциях тела, мы
12. Рисунок 1 x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя растягивающая сила; Fв – возвращающая
13. Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной и той
14. Примеры колебательных процессов Опыт Кавендиша
15. Примеры колебательных процессов В случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет потерь энергии) скорость и угол отклонения
16. Примеры колебательных процессов Упругое столкновение некоторого тела с баллистическим маятником: при движении маятника его продольная ось
17. Примеры колебательных процессов Столкновение абсолютно упругого шара с пружинным осциллятором. Со временем колебания затухают, часть энергии
19. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
20. колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; различные периодические процессы (повторяющиеся
21. Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x. Максимальное смещение
22. Рисунок 2
25. Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например от к и обратно
26. ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд. Фаза φ не влияет
27. – амплитуда скорости; – амплитуда ускорения. Смещение описывается уравнением тогда, по определению: (1.2.4) (1.2.5) скорость ускорение
28. 1.3 Графики смещения скорости и ускорения Уравнения колебаний запишем в следующем виде: Из этой системы уравнений
30. скорость колебаний тела максимальна и равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия ( ).
31. Рисунок 3
32. Найдем разность фаз Δφ между фазами смещения х и скорости υx. то есть скорость опережает смещение
33. 1.4 Основное уравнение динамики гармонических колебаний Исходя из второго закона, , можно записать сила F пропорциональна
34. Сравнивая (1.4.1) и (1.4.2) видим, что Получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими силами: или
35. Круговая частота колебаний но тогда Период колебаний
36. 1.5 Энергия гармонических колебаний Рисунок 1 Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой, которую произведет возвращающая
37. , отсюда или (1.5.1) (1.5.2) Кинетическая энергия (1.5.3) Полная энергия: , или Полная механическая энергия гармонически
38. Колебания груза под действием сил тяжести Максимум потенциальной энергии, (из 1.5.1) Максимум кинетической энергии но когда
39. При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот,
40. На рисунке 6 приведена кривая потенциальной энергии Рисунок 6 К = Е - U
41. 1.6 Гармонический осциллятор 1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине
42. или циклическая частота ω период Т Из второго закона Ньютона F = mа; или F =
43. 2 Математическим маятником – называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса,
44. Тогда , или Обозначим : (1.6.3) - Это уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения (1.5.3) имеет
45. 3 Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной
46. - угловое ускорение, тогда Уравнение динамики вращательного движения где – приведенная длина физического маятника – это
47. Точка называется центром качаний всегда больше l. Точки и всегда будут лежать по обе стороны от
48. Точка подвеса О маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости . На этом свойстве основано определение
49. Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для малых углов отклонения (меньше 15°), когда
50. Бенджамин Франклин за стеклянной гармоникой Его знаменитая гармоника была создана в 1763 году, а затем в
51. Визуализация узловых меридианов
52. Рис.10 Поющий толстый бокал, емкостью 600 мл Рис.11 Осциллограмма пустого бокала Рис.12 Осциллограмма бокала, наполненного водой
53. Частота понижается с уменьшением глубины h, Чем меньше толщина стенок бокала l, тем выше частота звуковых
54. Загадка Древнего Китая Китайский таз, известный со времен династии Мин (1368-1644).
55. Комплексная форма представления гармонических колебаний Уравнение гармонических колебаний Сделаем замену: x = eλt Продифференцировав, получаем: Уравнение
56. Корни характеристического уравнения – мнимые: λ = ± iω0 Общее решение однородного ДУ В силу вещественности
57. Представим их в комплексной форме Z = ρeiφ, где в качестве модуля выбрано значение А/2: Тогда
58. Получаем выражение для гармонических функций: И выражение для функции х приобретает вид - гармоническое колебание. Из
60. Скачать презентацию

Слайд 2

Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика
*

Слайд 3

Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры
общей физики ТПУ
Ф И З И

К А
Часть 3
Колебания и волны;
Квантовая физика;
Атомная и ядерная физика.
18 лекций
9 практических занятий
9 лабораторных занятий
2 теоретических коллоквиума
3 индивидуальных задания
экзамен

Сегодня: *

Поток ИГНД

Слайд 4

Физика Кафедра общей физики
Весенний семестр ИГНД , лектор Кузнецов

С.И.
2008/2009 учебный год Гр.
Лекции - 36 часoв
Практические занятия - 18 часов
Лабораторные занятия - 18 часов
Итого: - 72 часа

Слайд 5

Литература
1. Ю.И. Тюрин, И.П. Чернов, Ю.Ю. Крючков
ФИЗИКА, Ч.3. Оптика. Квантовая

физика.
2. И.В. Савельев, КУРС ФИЗИКИ Ч.3;
3. А.А. Детлаф, Б.М.Яворский КУРС ФИЗИКИ.
4. Т.И. Трофимова. Курс физики.
5. Фейнмановские лекции по физике
С.И. Кузнецов. Колебания и волны.
С.И. Кузнецов. Квантовая оптика. Атомная и ядерная физика. Физика элементарных частиц.

Слайд 6

Раздел V Колебания и волны

Слайд 7

Тема 1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1.1 Виды и признаки колебаний
1.2 Параметры гармонических колебаний
1.3

Графики смещения скорости и ускорения

1.4 Основное уравнение динамики гармон. колебаний

Сегодня: *

1.5 Энергия гармонических колебаний

1.6 Гармонический осциллятор

Слайд 8

Примеры колебательных процессов
Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником

(гармонически колеблющимся шариком).

Генерация акустической волны громкоговорителем.

Слайд 9

Возможные типы колебаний атомов в кристалле.
Поперечная волна в сетке,

состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания масс происходят перпендикулярно направлению распространения волны.

Примеры колебательных процессов

Слайд 10

1.1 Виды и признаки колебаний
В физике особенно выделяют колебания двух

видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека.
Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другую – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т.д.
Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, повторяющиеся во времени.
Существуют общие закономерности этих явлений. Поэтому основные, учения о механических колебаниях, которые мы рассматриваем здесь, должны стать фундаментом для изучения любых видов колебаний.

Слайд 11

Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями.
Говоря

о колебаниях или осцилляциях тела, мы подразумеваем повторяющееся движение его туда и обратно по одной и той же траектории. Иными словами колебательное движение является периодическим. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины.

Рисунок 1

)

Слайд 12

Рисунок 1
x = 0 – положение равновесия;
Fвн – внешняя

растягивающая сила;
Fв – возвращающая сила;
A – амплитуда колебаний.
k - жесткостью пружины.
Знак минус означает, что возвращающая сила, всегда противоположна направлению перемещения x
Fвн = + kx

Закон Гука
Fв = – kx

Слайд 13

Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения:
повторяемость (периодичность) – движение

по одной и той же траектории туда и обратно;
ограниченность пределами крайних положений;
действие силы, описываемой функцией F = – kx.

Слайд 14

Примеры колебательных процессов
Опыт Кавендиша

Слайд 15

Примеры колебательных процессов
В случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет потерь энергии)

скорость и угол отклонения крайних шаров одинаковы, а все промежуточные шары находятся в покое.
В реальности общая энергия системы со временем уменьшается за счет трения о воздух, нагревания шаров, возбуждения акустических волн и т.д. В результате амплитуда отскока крайних шаров уменьшается, а центральные шары начинают совершать колебательные движения.

Слайд 16

Примеры колебательных процессов
Упругое столкновение некоторого тела с баллистическим маятником: при движении

маятника его продольная ось остаётся параллельной самой себе, а центр масс движется по окружности. Амплитуда колебаний баллистического маятника пропорциональна скорости налетающего тела.

Слайд 17

Примеры колебательных процессов
Столкновение абсолютно упругого шара с пружинным осциллятором. Со временем

колебания затухают, часть энергии системы перейдет в тепло

Слайд 18

Слайд 19

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе

колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Простейшим типом периодических колебаний являются так называемые гармонические колебания.
Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, F = – kx), совершает гармонические колебания.
Саму такую систему часто называют гармоническим осциллятором.

Слайд 20

колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий

к гармоническому;
различные периодические процессы (повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний.
Периодический процесс можно описать уравнением:

По определению, колебания называются гармони-ческими, если зависимость некоторой величины
имеет вид

или

Здесь синус или косинус используются в зависимости от условия задачи,
А и φ – параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже.

(1.1.2)

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам:

Слайд 21

Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится

груз, называют смещением x.

Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обозначается, буквой A.

1.2 Параметры гармонических колебаний

определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания.
называется начальной фазой колебания при .

Фаза измеряется в радианах.

Т.к. синус и косинус изменяются в пределах от +1 до – 1,

то х может принимать значения от +А до –А (рисунок 1.2)

Слайд 22

Рисунок 2

Слайд 23

Слайд 24

Слайд 25

Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку,

например от к и обратно в

, называется полным колебанием.
Частота колебаний ν определяется, как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц):
1 Гц = 1 колеб. в секунду.

Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание

(1.1.2)

(1.2.3)

Слайд 26

ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за

2π секунд.

Фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t.

(1.2.2)

Гармонические колебания являются всегда синусоидальными.
Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды.

Слайд 27

– амплитуда скорости;
– амплитуда ускорения.
Смещение описывается уравнением

тогда, по определению:

(1.2.4)

(1.2.5)

скорость

ускорение

Слайд 28

1.3 Графики смещения скорости и ускорения
Уравнения колебаний запишем в следующем

виде:

Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы:

(1.3.1)

Слайд 29

Слайд 30

скорость колебаний тела максимальна и равна амплитуде скорости в момент

прохождения через положение равновесия ( ).
При максимальном смещении ( ) скорость равна нулю.

Ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях.

Слайд 31

Рисунок 3

Слайд 32

Найдем разность фаз Δφ между фазами смещения х и скорости

υx.

то есть скорость опережает смещение на π/2.
Аналогично можно показать, что ускорение в свою очередь опережает скорость по фазе на π/2:

, (1.3.2)

(1.3.3)

Тогда ускорение опережает смещение на π, или

то есть, смещение и ускорение находятся в противофазе

(1.3.4)

Слайд 33

1.4 Основное уравнение динамики гармонических
колебаний
Исходя из второго закона, ,

можно записать

сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой).
Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения.

(1.4.1)

Примером сил удовлетворяющих (1.4.1) являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но удовлетворяющие (1.4.1) называются квазиупругими. Квазиупругая сила

где k – коэффициент квазиупругой силы.

(1.4.2)

Слайд 34

Сравнивая (1.4.1) и (1.4.2) видим, что
Получим основное уравнение динамики гармонических

колебаний, вызываемых упругими силами:

или ; , тогда

Решение этого уравнения всегда будет выражение вида

Основное уравнение динамики гармонических колебаний

Слайд 35

Круговая частота колебаний
но
тогда
Период колебаний

Слайд 36

1.5 Энергия гармонических колебаний
Рисунок 1
Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой,

которую произведет возвращающая сила

Слайд 37

, отсюда
или
(1.5.1)
(1.5.2)
Кинетическая энергия
(1.5.3)
Полная энергия:
, или
Полная механическая

энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Потенциальная энергия

Слайд 38

Колебания груза под действием сил тяжести
Максимум потенциальной энергии, (из 1.5.1)
Максимум

кинетической энергии
но когда , и наоборот.

Слайд 39

При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход

кинетической энергии в потенциальную и наоборот, но их сумма в любой момент времени постоянна.

Рисунок 5

Слайд 40

На рисунке 6 приведена кривая потенциальной энергии
Рисунок 6
К =

Е - U

Слайд 41

1.6 Гармонический осциллятор
1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный

на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы

Рисунок 7

Слайд 42

или
циклическая частота ω период Т
Из второго закона

Ньютона F = mа; или F = - kx
получим уравнение движения маятника:

(1.6.1)

Решение этого уравнения – гармонические колебания вида:

Слайд 43

2 Математическим маятником – называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой

нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити).

При отклонении маятника от вертикали, возникает вращающий момент

(1.6.2)

Уравнение динамики вращательного движения для маятника:
Момент инерции маятника

-угловое ускорение

Слайд 44

Тогда
, или
Обозначим
:
(1.6.3)
- Это уравнение динамики

гармонических колебаний.
Решение уравнения (1.5.3) имеет вид:

Т – зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения.

Уравнение движения маятника

Слайд 45

3 Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы

тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С
Вращающий момент маятника:

l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С.
Обозначим:

J – момент инерции маятника относит. точки подвеса O.

Слайд 46

- угловое ускорение, тогда
Уравнение динамики вращательного движения
где
–

приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Слайд 47

Точка
называется центром
качаний
всегда больше l.
Точки
и

всегда будут лежать по обе стороны от точки С.

Рисунок 9

Применяя теорему Штейнера,
получим:

Слайд 48

Точка подвеса О маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости

.
На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника.
Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника.

Слайд 49

Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для

малых углов отклонения (меньше 15°), когда мало отличается от длины хорды (меньше чем на 1%).

Слайд 50

Бенджамин Франклин за стеклянной гармоникой
Его знаменитая гармоника была создана в 1763

году, а затем в течение трех лет одна музыкантша, по фамилии Дэвис, объехала с новой музыкой Америку, Англию, Францию и Германию.

Слайд 51

Визуализация узловых меридианов

Слайд 52

Рис.10 Поющий толстый бокал, емкостью 600 мл
Рис.11 Осциллограмма пустого бокала
Рис.12 Осциллограмма

бокала, наполненного водой

Слайд 53

Частота понижается с уменьшением глубины h,
Чем меньше толщина стенок бокала l,

тем выше частота звуковых колебаний.

Слайд 54

Загадка Древнего Китая
Китайский таз, известный со
времен династии Мин (1368-1644).

Слайд 55

Комплексная форма представления гармонических колебаний
Уравнение гармонических колебаний
Сделаем замену: x = eλt
Продифференцировав,

получаем:
Уравнение примет вид:
После сокращения на экспоненту
- характеристическое уравнение, корни которого дадут общее решение однородного ДУ

Слайд 56

Корни характеристического уравнения – мнимые:
λ = ± iω0
Общее решение

однородного ДУ
В силу вещественности функции х(t) имеем (х = х*):
В результате условия на коэффициенты С1, С2:

Слайд 57

Представим их в комплексной форме
Z = ρeiφ,
где в

качестве модуля выбрано значение А/2:
Тогда выражение для функции х имеет вид

Слайд 58

Получаем выражение для гармонических функций:
И выражение для функции х приобретает вид
-

гармоническое колебание.

Из формул Эйлера

Гармонические колебания и их характеристики

Содержание

Колебания и волны. Геометрическая и волновая оптика*

Кузнецов Сергей Иванович доцент кафедры общей физики ТПУФ И З И

Физика Кафедра общей физики Весенний семестр ИГНД , лектор Кузнецов

Литература1. Ю.И. Тюрин, И.П. Чернов, Ю.Ю. Крючков ФИЗИКА, Ч.3. Оптика. Квантовая

Раздел V Колебания и волны

Тема 1 ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ1.1 Виды и признаки колебаний1.2 Параметры гармонических колебаний1.3

Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником

Возможные типы колебаний атомов в кристалле. Поперечная волна в сетке,

1.1 Виды и признаки колебаний В физике особенно выделяют колебания двух

Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Говоря

Рисунок 1 x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя

Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения:повторяемость (периодичность) – движение

Примеры колебательных процессовОпыт Кавендиша

Примеры колебательных процессовВ случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет потерь энергии)

Примеры колебательных процессовУпругое столкновение некоторого тела с баллистическим маятником: при движении

Примеры колебательных процессовСтолкновение абсолютно упругого шара с пружинным осциллятором. Со временем

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе

колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий

Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится

Рисунок 2

Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку,

ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за

– амплитуда скорости; – амплитуда ускорения. Смещение описывается уравнением

1.3 Графики смещения скорости и ускорения Уравнения колебаний запишем в следующем

скорость колебаний тела максимальна и равна амплитуде скорости в момент

Рисунок 3

Найдем разность фаз Δφ между фазами смещения х и скорости

1.4 Основное уравнение динамики гармонических колебаний Исходя из второго закона, ,

Сравнивая (1.4.1) и (1.4.2) видим, что Получим основное уравнение динамики гармонических

Круговая частота колебаний но тогдаПериод колебаний

1.5 Энергия гармонических колебанийРисунок 1Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой,

, отсюда или (1.5.1)(1.5.2) Кинетическая энергия (1.5.3) Полная энергия:, или Полная механическая

Колебания груза под действием сил тяжестиМаксимум потенциальной энергии, (из 1.5.1)Максимум