Содержание
- 3. Получим дискретное преобразование Фурье (ДПФ) для этого вектора, что символически выражается следующим образом. Компоненты вектора X
- 4. Последовательность , является, вообще говоря, последовательностью комплексных чисел. Поэтому интересно построить графики для модуля и аргумента
- 7. Если ДПФ (2) рассматривать для любых значений индекса k, то обнаруживаются интересные свойства ДПФ. Во-первых, легко
- 9. На этом рисунке можно увидеть еще одно свойство. График АЧХ симметричен относительно 17-ого элемента. В общем
- 12. Теперь обратимся к свойствам ДПФ, рассмотренным на предыдущей лекции. 1. Свойства симметрии. Если вещественный вектор x
- 13. Для нашего примера N = 32 , это для модуля и аргумента будет означать следующее. (8)
- 16. 2. Линейность. Линейной комбинации векторов соответствует линейная комбинация ДПФ. (9) В качестве первой последовательности возьмем последовательность,
- 23. 3. Циклический сдвиг влево на m позиций. Циклическому сдвигу влево на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует
- 24. Рассмотрим для примера, последовательность, рассмотренную выше (1) у которой компоненты убывают по экспоненциальному закону. Возьмем период
- 28. Определение. Под сверткой двух векторов и с периодом N , будем понимать вектор с периодом 2N
- 29. Обратим внимание на следующие свойства свертки. Первое, если периоды векторов a и b одинаковые и равны
- 33. Третье, если периоды векторов a и b разные и равны и , то период свертки будет
- 37. Свойство ДПФ свертки векторов. Вектор являющийся сверткой двух других векторов имеет ДПФ равный произведению ДПФ исходных
- 38. Поэтому ДПФ (2) для всех трех векторов a, b, c строится не по периоду N ,
- 39. Пусть компоненты второго вектора имеют вид единичной ступеньки. (32) Эти два вектора дополняем нулями до векторов
- 47. Дискретное преобразование Фурье и пакет MATLAB В пакете MATLAB имеются средства для вычисления дискретного преобразования Фурье.
- 48. Обратное дискретное преобразование Фурье ОДПФ, выполняет функция ifft(X) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом. x
- 49. Эти формулы в пакете MATLAB выглядят следующим образом. (34) Отличие этих формул связано с тем, что
- 50. Дискретное преобразование Фурье и спектр сигналов До сих пор дискретное преобразование Фурье рассматривалось формально как некоторое
- 51. Здесь F - частота Найквиста, а отсчеты дискретного сигнала. Предположим, что дискретный сигнал определен конечным набором
- 52. Спектр дискретного сигнала (36) является непрерывной периодической функцией с периодом 2F . На периоде [0, 2F]
- 53. Мы видим, что сумма, стоящая в формуле (38) является ДПФ для последовательности . (39) Сравнивая формулы
- 54. Таким образом, дискретный спектр дискретного сигнала выражается через ДПФ от дискретного сигнала по формуле (40). Если
- 55. Поэтому можно сказать, что дискретное преобразование Фурье является по сути дела, дискретным спектром дискретного сигнала. Теперь
- 56. Если преобразование Фурье сводится к аналитическим выражениям, то задача нахождения спектра сигнала решается просто. Чаще всего
- 58. Тогда спектр S( f ) такого сигнала будет равен интегралу с конечными пределами. (45) Этот интеграл
- 59. где N для удобства четное число. Отсчеты сигнала берем в дискретные моменты времени В методе прямоугольников
- 60. Выразим шаг дискретизации через частоту Найквиста Тогда формула (46) примет вид (47)
- 61. Сравним формулу (47) с выражением (36) для спектра дискретного сигнала. Мы видим, что формулы очень похожи.
- 62. Это связано с тем, что в интеграле (45) мы рассматриваем непрерывный сигнал для положительных и отрицательных
- 63. Подставляем дискретные частоты (50) в формулу (47) и получаем (51) Рассмотрим для примера, непрерывный сигнал заданный
- 64. Пусть несущая частота в этом импульсе равна Гц, а длительность импульса равна соответственно a = 0.2
- 65. Интервал интегрирования пусть будет равен T = 0.4 . Число интервалов пусть будет равно N =
- 68. Изменим нумерацию компонент дискретного сигнала , чтобы это было похоже на последовательность, для которой можно найти
- 69. Вместо спектра заданного формулой (51) рассмотрим спектр, полученный с помощью ДПФ (54) (55) Построим график спектра
- 72. Простой анализ показывает, что связь между компонентами дискретного спектра (51) непрерывного сигнала и ДПФ (54) осуществляется
- 73. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) Для быстрой спектральной обработки сигналов, надо иметь алгоритмы быстрого вычисления дискретного преобразования
- 74. В этом алгоритме важным моментом является число членов N суммы (57). Рассмотрим ДПФ размерности . Введем
- 75. Для вычисления каждого коэффициента y(k) , как легко видеть, требуется около комплексных сложений с умножениями. Итого,
- 76. Введем вектор: (61) который является вектором нечетных отсчетов вектора X. Учтем следующее соотношение (62)
- 77. Далее разобьем сумму (59) на два слагаемых с четными и нечетными членами. При этом учтем формулы
- 78. Сравнивая соотношения (64) с формулой (59), мы видим, что первая формула (64) – это ДПФ вектора
- 79. (66) ! Доказать самостоятельно соотношения (66). Сделаем в (65) замену и воспользуемся свойствами (66). В результате
- 80. Объединим формулы (65), (67) (68) Подведем некоторый итог. При помощи уравнений (68) мы выразили коэффициенты ДПФ
- 81. через коэффициенты ДПФ размерности . (70) Таким образом, вычисление - точечного ДПФ можно осуществить, выполнив предварительно
- 82. Итого, реализация ДПФ размерности с использованием уравнений (68) потребует порядка операций комплексного умножения. При непосредственном использовании
- 84. Скачать презентацию