Терема Котельникова

(57)

при помощи формулы.

(58)

Введенная здесь частота F называется частотой Найквиста.

(61)

Здесь учтено, что на интервале [-F, F] спектр S(f) и спектр совпадают. Сравнивая поученную запись с выражением для s(kΔt) (60), видим, что

(62)

(64)

Меняя в последнем выражении порядок интегрирования и суммирования, имеем

(65)

(67)

Отсюда, окончательно, критерий для выбора шага дискретизации аналогового сигнала при известной максимальной частоте спектрального представления принимает следующий вид.

(68)

! Написать программу в пакете MATLAB для восстановления сигнала с помощью ряда Котельникова . Проведя интегрирование, доказать справедливость формулы (58).

(1)

Компоненты этих векторов могут быть комплексными числами. Выразим компоненты вектора X через компоненты вектора x с помощью следующей суммы

(2)

Лекция 6

(3)

Доказательство. Подставим ДПФ (2) в формулу (3)

(4)

(6)

Сумма в формуле (6) является суммой геометрической прогрессии.

(7)

В последнем выражении применяем формулу Эйлера для синуса

Поэтому если n ≠ m , то синус в числителе равен нулю, а в знаменателе нет.

(10)

Если же индексы равны друг другу n = m , то сумма (6) вычисляется очень просто. В этом случае экспоненты в сумме (6) будут равны единице. Поэтому получаем:

(11)

Объединяя формулы (10) и (11), мы видим что сумма (6) равна символу Кронекера

(12)

(13)

Итак, Теорема доказана.

Таким образом, дискретное преобразование Фурье определятся формулами (2) и (3), которые мы объединим вместе.

(14)

Дискретное преобразование Фурье и пакет MATLAB

В пакете MATLAB имеются средства для вычисления дискретного преобразования Фурье. Преобразование ДПФ, например, выполняет функция fft(x) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом.

X = fft(x);

N = 32;
n = 1 : N;
x = exp(-0.1*n);
X = fft(x);
stem(x);
stem(abs(X));
stem(angle(X));

На рисунках показан результат работы программы.

x = ifft(X);

При использовании ДПФ в пакете MATLAB надо обратить внимание на следующее обстоятельство. Указанные функции производят вычисления по формулам, которые немного отличаются от классических формул (14). Эти формулы в пакете MATLAB выглядят следующим образом.

(15)

то говорят, что эта последовательность имеет длину N . Также называют N - периодом последовательности. Кроме того, часто вектор x называют вектором-сигналом, а вектор ДПФ X называют вектором-спектром.

(16)

!Доказать самим соотношения (16).

(17)

! Доказать самим соотношения (17).

(19)

Доказательство. Запишем ДПФ для векторов , и затем разобью сумму на два члена.

(20)

(21)

В сумме (21) была сделана замена индексов n + 1 = m . Учитываем с помощью формулы Эйлера что.

Свойство доказано.

(23)

! Доказать самим соотношения (23).

(24)

! Доказать самим соотношения (24).

Доказательство. Используем результаты циклических сдвигов, отмеченные в формулах (19), (23), (24). Объединим эти результаты в виде формулы.

(25)

Следствие доказано.

(27)

5. ДПФ свертки векторов. Вектор являющийся сверткой двух других векторов имеет ДПФ равный произведению ДПФ исходных векторов.

(28)

Выпишем ДПФ для этих векторов.

(29)

(31)

В результате получи выражение:

(32)

Поэтому для l < 0 или для l > N - 1 . Таким образом, формула (32) принимает вид.

(33)

(34)

Рассмотрим, какую роль играет дискретное преобразование Фурье в спектральном описании сигналов. Начнем с дискретного сигнала. Как мы знаем, спектр дискретного сигнала выражается формулой.

(35)

Другими словами для n < 0 или для n > N – 1 можно считать . Поэтому ряд (35) заменяется конечной суммой.

(36)

(37)

В формуле (37) величина Δf называется шагом частотной дискретизации. Подставим дискретные значения частоты (37) в формулу спектра (36). В результате получим.

(38)

(39)

Сравнивая формулы (38) и (39) получаем соотношение.

(40)

то связь (40) можно изобразить в виде.

(41)

(44)

Рассмотрим финитный сигнал s( t ). Выберем временной интервал t ∈ [ -T/2, T/2 ] такой, чтобы вне этого интервала сигнал равнялся нулю s( t ) = 0.

(45)

Проведем дискретизацию сигнала с шагом дискретизации

где N для удобства четное число. Отсчеты сигнала берем в дискретные моменты времени

Тогда формула (46) примет вид

(47)

(48)

В формуле (47) нумерация другая.

(49)

(50)

Подставляем дискретные частоты (50) в формулу (47) и получаем:

(51)

В результате формула (51) примет вид

(52)

(54)

Сумма в (54) внешне похожа на ДПФ для последовательности Выпишем эту сумму.

(56)

В сумме (55) индекс k принимает другие значения.

(57)

(58)

Интервал (58) содержится в интервале (56) , поэтому для значений (58) сумма (55) совпадает с ДПФ.

(59)

Итак, для интервала (58) получаем связь между спектром и ДПФ

(60)

(61)

Сделаем замену индексов в уравнении (55).

(62)

(64)