Содержание
- 2. Теорема 2. (Теорема отсчетов). Если сигнал s(t) имеет спектр ограниченный полосы, т.е. S(f) = 0 при
- 3. Доказательство. Выразим сигнал через его спектр (60) Тогда с использованием формул (56, 57) получаем выражение для
- 4. Спектр S(f) , принимающий ненулевые значения только на отрезке f ∈ [-F, F] , периодически продолжим
- 5. Тогда получаем (63) Здесь при переходе от первой суммы ко второй была совершена замена
- 6. Берем формулу для сигнала (59) и заменяем в ней спектр S(f) на спектр (63) (64) Меняя
- 7. Отсюда, учитывая, что интеграл в (65) равен (66) получаем утверждение теоремы. ! Доказать справедливость формулы (66).
- 8. Итак, шаг дискретизации Δt позволяет точно восстановить аналоговый сигнал, если его спектр ограничен условием (67) Отсюда,
- 9. Это условие можно записать через частоту Найквиста F (69) Другими словами, при дискретизации аналогового сигнала частоту
- 10. Дискретное преобразование Фурье Введем два числовых вектора x и X размерности N. (1) Компоненты этих векторов
- 11. Соотношение (2) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Иногда говорят, что вектор является дискретным преобразованием вектора
- 12. Теорема 1. Вектор можно восстановить при помощи обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ), которое определяется формулой. (3)
- 13. В выражении (4) поменяем порядок суммирования. (5) Вычислим сумму, стоящую в скобках в формуле (5) (6)
- 14. Используем формулу суммы геометрической прогрессии (7) для вычисления суммы (6). (8) В последнем выражении применяем формулу
- 15. В результате формула (8) принимает вид. (9) В выражении (9) n и m целые числа принимают
- 16. Таким образом, если n ≠ m , сумма в выражении (6) равна нулю. (10) Если же
- 17. Подставляем (12) в формулу (5), и используем свойство символа Кронекера, сворачивать сумму. В результате получаем (13)
- 18. Можно сказать, что вектор и вектор , связаны между собой дискретным преобразованием Фурье, что обычно изображают
- 19. Фрагмент кода программы показывает, как можно получить ДПФ для заданного вектора x , компоненты которого убывают
- 20. На первом рисунке выводятся компоненты входящего вектора x . Видно, что компоненты этого вектора убывают по
- 21. Так как выходящий вектор X является комплексным, то на втором рисунке выводится абсолютные значения его компонентов
- 22. На третьем рисунке выводятся аргументы его компонентов (аналог ФЧХ).
- 23. Обратное дискретное преобразование Фурье ОДПФ, выполняет функция ifft(X) . Вызов этой функции осуществляется следующим образом. x
- 24. Свойства дискретное преобразование Фурье Отметим важные свойства ДПФ, которые часто используются в приложениях. Сначала несколько слов
- 25. 1. Свойства симметрии. Если вещественный вектор x с периодом N имеет в качестве ДПФ вектор X
- 26. Из соотношений (16) вытекают условия симметрии для действительных и мнимых частей компонент вектора X . (17)
- 27. 2. Линейность. Линейной комбинации векторов соответствует линейная комбинация ДПФ. (18) ! Доказать самим соотношения (18).
- 28. 3. Циклический сдвиг влево. Циклическому сдвигу влево компонент вектора-сигнала, соответствует умножение компонент вектора-сигнала на фазовый множитель.
- 29. Заменим в формуле (20) компоненты вектора y на компоненты вектора x с помощью условия (19.) (21)
- 30. Далее выполняем в выражении (21) следующие преобразования. (22) Последняя сумма в выражении (22) является ДПФ для
- 31. Следствие. Циклический сдвиг влево на m позиций. Циклическому сдвигу влево на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует
- 32. 4. Циклический сдвиг вправо на m позиций. Циклическому сдвигу вправо на m позиций компонент вектора-сигнала, соответствует
- 33. Следствие из свойств 3, 4. Инвариантность амплитудного спектра относительно циклических сдвигов. При любом циклическом сдвиге амплитуда
- 34. Теперь вычислим модуль от выражения (25). (26) В формуле (26) учтено, модуль фазового множителя равен единице.
- 35. Определение. Под сверткой двух векторов и с периодом N , будем понимать вектор с периодом 2N
- 36. Доказательство. Дополним векторы a и b нулями, чтобы они имели период 2N . Выпишем ДПФ для
- 37. Для удобства введем обозначение (30) Выпишем ДПФ вектора-свертки с использованием формул (28), (29), (30). (31)
- 38. В формуле (31) изменен порядок суммирования. В сумме в скобках (31) сделаем замену индексов В результате
- 39. Теперь учтем, что компоненты векторов a и b отличны от нуля только для следующих значений индексов
- 40. Далее, так как для l > N – 1, то суммы в (33) не изменяться, если
- 41. С учетом формул (34) выражение (33) принимает искомый вид. Свойство доказано. Дискретное преобразование Фурье и спектр
- 42. Здесь F - частота Найквиста, а отсчеты дискретного сигнала. Предположим, что дискретный сигнал определен конечным набором
- 43. Спектр дискретного сигнала (36) является непрерывной периодической функцией с периодом 2F . На периоде [0, 2F]
- 44. Мы видим, что сумма, стоящая в формуле (38) является ДПФ для последовательности . (39) Сравнивая формулы
- 45. Таким образом, дискретный спектр дискретного сигнала выражается через ДПФ от дискретного сигнала по формуле (40). Если
- 46. Теперь рассмотрим, как связано дискретное преобразование Фурье со спектром непрерывных сигналов. Спектр непрерывного сигнала определяется преобразованием
- 48. Тогда спектр S( f ) такого сигнала будет равен интегралу с конечными пределами. (45) Проведем дискретизацию
- 49. В методе прямоугольников интеграл (3) заменяем следующей суммой (46) Выразим шаг дискретизации через частоту Найквиста Тогда
- 50. Сравним формулу (47) с выражением (36) для спектра дискретного сигнала. Мы видим, что формулы очень похожи.
- 51. Обычно нас интересует спектр, как для положительных значений частоты f > 0 ,так и для отрицательных
- 52. Чтобы сумме в выражении (51) придать вид ДПФ, сделаем замену индексов. В результате формула (51) примет
- 53. Заменим последовательность другой последовательностью по правилу. (53) В этом случае спектр сигнала (52) принимает вид (54)
- 54. (55) Отличие суммы (55) от настоящего ДПФ, приведенного в формуле (2), состоит в следующем. В настоящем
- 55. Разобьем этот интервал на две части. Рассмотрим сначала правую часть этого интервала (58) Интервал (58) содержится
- 56. Таким образом, мы получили формулу для вычисления половины спектра. Теперь рассмотрим левую часть интервала (57) (61)
- 57. Сумма (55) в этом случае примет вид (63) Последняя сумма в (63) является ДПФ, так как
- 59. Скачать презентацию