Колебания и волны в плазме

Предположим, что температура плазмы мала, и тепловым движением заряженных частиц можно пренебречь. Пренебрежем также столкновениями частиц между собой.
Рис.1
Будем считать ионы неподвижными, и допустим, что произошло смещение электронного слоя (рис.1). Избыточный заряд в возмущенном слое выразится в виде:
Где n0 – невозмущенная электронная концентрация, S – площадь данного слоя.

в форме:
После интегрирования данного выражения напряженность электрического поля в промежутке от 0 до x0 запишется в виде:
Запишем уравнение движения электрона под действием электрической силы:
Если поделить все выражение на массу электрона, то можно прийти к уравнению колебаний:

сложном выводе с использованием уравнений гидродинамики присутствует концентрация плазмы в виде:
Где n’ – возмущенное значение концентрации при наличии колебаний. Для уравнения относительно n’ также получается уравнение колебаний с плазменной частотой ωp:
Данные продольные колебания электронной плотности можно наблюдать в различных видах газовых разрядов при подаче на один из электродов импульса возбуждения.

с волнами в газовых средах, поэтому приведем краткое описание вывода волн в газе. В качестве исходных обычно используются уравнение непрерывности и уравнение Эйлера:
Где ρ -плотность газа, -его скорость, p -давление
Окончательные уравнения записываются для данного потенциала, или для возмущенного значения давления p’ ( ):

скорости звука в газе записывается выражение:
Где m0 –масса атома, Cp –теплоемкость при постоянном давлении, CV –теплоемкость при постоянном объеме.
Рассмотрим теперь волны в плазме при учете теплового движения электронов. Пренебрежем электрон-ионными столкновениями. Запишем уравнение движения электрона при наличии слагаемого, учитывающего градиент давления:

будет записано в виде:
Для электрического поля в одномерном случае, как и при ленгмюровских волнах, можно записать:
Также используется уравнение непрерывности в одномерном случае:
Окончательный вид уравнения для возмущенного значения концентрации плазмы n’ будет следующий:

ωp и множитель сходный с тепловой скоростью электронов ve :
Решение данного уравнения ищется в виде:
Где ω -частота и k –волновое число.
После подстановки в волновое уравнение можно прийти к следующему дисперсионному соотношению:

в волне. С помощью дисперсионного уравнения можно найти выражения для фазовой и групповой скоростями волны. Фазовая скорость волны определяется по формуле:
Для групповой скорости записывается выражение:
Показатель преломления и диэлектрическая проницаемость плазмы выражается в виде:

плазменной частоты ω >ωp .
Рассмотрим распространение электромагнитных волн через плазму. Предположим, что плазма однородная и пренебрежем электрон-ионными столкновениями. Допустим, что на границу плазмы из вакуума падает плоская поляризованная электромагнитная волна (рис.2).
Рис.2
Уравнение движения электрона в поле волны можно записать в виде:
Электрическое поле в волне представляется в виде:

следующим образом:
В результате электрон будет совершать колебательные движения с частотой электрического поля волны.
Представим электрический дипольный момент единицы объема:
Его связь с электрическим полем и диэлектрической проницаемостью будет следующей:

формул для диэлектрической проницаемости плазмы и ее показателя преломления можно выделить два случая:
1) - в плазме распространяются электромагнитные волны и диэлектрическая проницаемость принимает значения в диапазоне от 0 до 1 (рис.3), что свойственно исключительно плазменным средам. Следует напомнить, что выражение для показателя преломления в оптически прозрачных твердых средах больше единицы.

Величина электрического поля в плазме при этом будет уменьшаться по закону:
От границы плазмы в этом случае происходит отражение электромагнитной волны. Данный эффект имеет большое значение при отражении радиоволн от ионосферы.
Найдем дисперсионное соотношение и скорости электромагнитных волн (фазовую и групповую). Запишем выражение для волнового вектора: