Кручение тонкостенных профилей

произвольной формой сечения. При свободном кручении касательные напряжения изменяются по толщине стенки δ по линейному закону так, что в точках срединной поверхности τ=0. Поэтому депланация средней линии каждого поперечного сечения при свободном кручении возникает без деформаций в срединной поверхности стержня.

Наша задача — получить эти депланации в зависимости от угла закручивания φ(x).

Далее будем изображать лишь срединную поверхность стержня, а его поперечные сечения — в виде средних линий, без указания толщины δ. Положение произвольной точки М(x,s) в срединной поверхности зададим двумя координатами x и s, причем дуга s отсчитывается от некоторой начальной точки М0, подлежащей далее определению.
В точке М проведем плоскость, касательную к срединной поверхности, и обозначим перемещения точки в этой плоскости w и v, где v — перемещение в тангенциальном к контуру сечения направлении.

z

x

x

точка М переместилась в положение М1 вместе с элементом срединной поверхности dxxds. Получим связь между перемещениями w и v, для чего напишем условие отсутствия угла сдвига элемента срединной поверхности, выделенного в точке М:

dx

Знак минус поставлен потому, что приращение перемещения (dv/dz)dz направлено в сторону, противоположную направлению отсчета координаты s.
После сокращения на ds и dx получим искомое соотношение:

Условие отсутствия сдвигов в срединной поверхности

Примем гипотезу о том, что вдоль всего стержня установлены диафрагмы, которые, не сопротивляясь депланации, обеспечивают при закручивании стержня поворот каждого поперечного сечения как жесткого диска. (гипотеза неизгибаемости контура поперечного сечения)

центра кручения А (он также подлежит определению).Угол φ будем считать положительным, если он направлен против хода часовой стрелки при взгляде на сечение в положительном направлении оси x. Из рис. найдем полное перемещение точки М в плоскости сечения ΜΜ1=ΑΜ ·φ и его тангенциальную составляющую ν=ΜΜ1 ·cosβ=φ· AM· cos β. Но так как AM· cos β=r (высота, опущенная из центра кручения на касательную к контуру v) то искомое выражение ν от φ будет иметь вид:

Подставляя в условие отсутствия сдвигов в срединной поверхности и обозначая дифференцирование по координате x через (dφ/dx)=φ', получаем

Интегрируя данное выражение по дуге s, получим:

где w0 — перемещение начальной точки М0.

элементарного треугольника с основанием ds, а весь интеграл вдоль дуги s от М0 до М дает так называемую секториальную площадь ω, т. е. площадь, покрываемую радиусом точки при ее движении вдоль контура из начальной точки М0 в рассматриваемую точку М. Секториальная площадь ω>0, если радиус ρ вращается против хода часовой стрелки (при взгляде на сечение в положительном направлении оси x).В дальнейшем примем, что w0=0, тогда формула окончательно примет вид

закон изменения перемещения w вдоль контура сечения вследствие депланации сечения в срединной поверхности.

Так как w пропорционально ω, то говорят, что в тонкостенном стержне открытого профиля депланация происходит по закону cекториальных площадей. Степень развития депланаций сечения зависит от относительного угла закручивания φ'. С крутящим моментом φ' связан соотношением изученным ранее. Между положением точки на дуге s и площадью ω существует однозначное соответствие. Поэтому секториальную площадь ω называют секториальной координатой точки. Если ее линейные координаты х и у имеют размерность [м], то размерность ω будет [м2].

если углы закручивания стержня изменяются по закону φ=-θ·x.
Решение. Так как профиль симметричен, то центр кручения будет располагаться по оси симметрии. Проведем ось кручения х через точку А. Из соображений симметрии так же будем считать, что точки продольного волокна, совпадающего с осью x, закреплены от продольных смещений (w=0). Следовательно, точка M0 совпадает с точкой А и располагается на оси x (в центре тяжести сечения). При движении из M0 в точку 1 радиус AM лишь удлиняется, не покрывая никакой площади. Поэтому на участке M0 — 1 имеем ω=0. При движении из точки 1 в точку 2 радиус AM вращается против хода часовой стрелки, поэтому ω>0. В точке 2 ω2=с2, а в промежуточных точках

она изменяется по линейному закону. То же будет для левого участка контура. Эпюра ω изображена на рисунке.
Углы закручивания по длине стержня изменяются по закону φ=-θ·x . Следовательно, относительный угол закручивания φ'=-θ. По формуле найдем w2=w4=θ·c2. Эпюра w изображена на рисунке.
Сравнение эпюр ω и w подтверждает вывод о том, что в стержнях открытого профиля депланация совершается по закону секториальных площадей.

x

сечении специально выбранной системы осей координат (y,z), которую мы назвали главными центральными осями, существенно упрощает расчетные формулы и создает большие удобства в изучении деформаций. Как мы увидим далее, то же самое имеет место для стесненного кручения. Поэтому удобно здесь распространить уже известные для координат х и у понятия и на новую секториальную координату ω.
Составим таблицу, симметричную относительно главной диагонали, которую назовем «матрицей моментов инерции»:

Здесь внедиагональные элементы матрицы J представляют интегралы от произведения координат, а элементы на главной диагонали — интегралы от их квадратов:

названия и размерность:
Jzω —секториально-линейные моменты инерции площади сечения, м5;
Jω — секториальный момент инерции сечения, м6.

Координаты называются главными, если в матрице моментов инерции J все внедиагональные элементы равны нулю.
Следовательно, главные секториальные координаты должны быть подчинены условиям:

Кроме того, по аналогии с понятием центральных осей, которые проходят через центр масс, в котором, в свою очередь, статические моменты равны нулю, потребуем, чтобы эпюра ω обращала аналогичный интеграл в ноль:

Координаты ω, удовлетворяющие данным равенствам, называют главными секториальными координатами сечения.

понять, если условно принять, что эпюра ω — это эпюра нормальных напряжений (σx=с1·ω). Тогда ясно, что два первых равенства выражают условие того, что при кручении в сечении отсутствуют изгибающие моменты Му=0, Мz=0, а последнее равенство — того, что отсутствует продольная сила N=0. Можно сказать, что эпюра главных секториальных координат в статическом отношении — это самоуравновешенная эпюра ω.

секториальной площади dωΒ>0 и dωA>0 получаемые при переходе из точки М контура в точку М1 на длину пути ds. При этом координаты точки М изменяются на dy и -dz. Из чертежа имеем dωB=rB·ds и dωΑ = rA·ds, а их разность

Так как , а и

подставляя эти значения получим

Интегрируя получаем:

3. Техника определения главных секториальных координат

тремя параметрами, от которых зависит ω: две координаты центра кручения и одна координата начальной точки М0 на дуге контура сечения.

z

αy

αz

z

где С — произвольная постоянная.

Для определения координат истинного центра кручения А зададимся вначале произвольной точкой В, пользуясь которой, как центром кручения при произвольном начале отсчета М1 построим эпюру ωΒ. Пусть αy и αz —координаты точки А по отношению к точке В. Ранее показано, что ωΑ и ωВ связаны равенством

Подставляя выражения для ωA в условия равенства линейно-секториальных момента нулю, придем к системе уравнений относительно αy и αz:

Sz= 0, Sy= 0.
Решая имеем формулы для координат точки А:

Интегралы представляют собой рассмотренные ранее моменты

Раскрывая скобки и учитывая, что интеграл суммы равен сумме интегралов

кручения А и произвольном начале отсчета М1. Из рис. можно видеть, что ωΑ и ω, найденные для истинной точки М0, отличаются на некоторую постоянную D:

Подставив данное выражение в условие равенство нулю статического момента, получим

отсюда

Вычитая D из ординат эпюры ωА, получаем эпюру главных секториальных координат. При этом может образоваться не одна нулевая точка. Любая из ниx может быть принята в качестве М0.

в примере 1.
Решение: Построенную в этом примере эпюру ω обозначим ωА и проверим, удовлетворяет ли она условию равенства нулю линейно-секториальных моментов. Для этого на рисунке изображена для главных центральных осей сечения (у,z) эпюра z. Из сопоставления ее с эпюрой ωА видно, что для каждой точки лежащей на отрезках A-1 и А-3

произведение z·ωА=0, а для каждой точки, лежащей на отрезке 3-4, найдется симметричная точка, лежащая на отрезке 1-2 у которых произведения z·ωАбудут равны по величине и противоположны по знаку. Следовательно
Отсюда получаем, что
Аналогично получим αz=0 и отсюда заключаем, что принятая в примере 1 точка А является истинным центром кручения.

суммой интегралов по дуге контура, а интегралы под знаком суммы вычислены как площади эпюры ωΑ на участках контура bi. Вычитая константу D из ординат ωΑ получим главные секториальные координаты ω.
На рисунке, кроме того, изображена эпюра депланаций w согласно эпюре ω. Сравнивая их с депланациями, найденными в примере 1, видим, что они отличаются в данном случае лишь на константу. Это говорит о том, что для свободного кручения переход от неглавных к главным секториальным координатам означает лишь изменение положения плоскости, от которой отсчитываются депланации данного сечения.

кручения для швеллера.
Решение: Ввиду наличия у сечения оси симметрии точки M0 и А находятся на этой оси. Определению подлежит координата αz центра кручения А, отсчитываемая от точки В, которую мы совместим с точкой M0. Построим эпюры величин у и ωB, входящих в интегралы в формуле для расчета αz
На верхней полке:
На нижней полке:
На вертикальной стенке:

s – продольная координата по которой будет проводиться интегрирование

Входящие в формулу для αz интегралы по площади заменяем интегралами по дуге.

и выведем аналитические зависимости для этих величин:

y

z