Квантовая природа электромагнитного тока

вектора (его трех компонент –kx, ky kz). Переход от суммирования к интегрированию проводится, согласно выражению:

Для упрощения вывода рассмотрим одномерный случай:

Решение:

Откуда:

Таким образом, видно, что ЭМ в резонаторе имеет структуру дискретную, т.е. образуют счетный набор. Поскольку осцилляторы поля независимы, полное их число имеет смысл числа степеней свободы ЭМ поля. При этом на долю каждого осциллятора приходится ячейка в kx – пространстве размером

тройкой натуральных чисел nj. Таким образом, все k-пространство разбивается на кубики объемом

Вычислим теперь полное число степеней свободы ЭМ поля. Учитывая, что физически различным конфигурациям (осцилляторам) поля отвечают лишь положительные значения kj, а полный объем в k-пространстве есть

Тогда число степеней свободы поля есть отношение последнего объема к объему, занимаемому в k-пространстве одним осциллятором поля, т.е.

Учитывая, что на самом деле в одной волне есть два поля (компонента электрического и компонента магнитного, имеем окончательно число степеней свободы поля

удобно произвести замену вида (эти переменные вещественны)

Тогда

Полная энергия поля тогда есть

В квантовой теории ей отвечает оператор энергии, выраженный через выписанные выше величины

Таким образом, общая энергия ЭМ поля представлена через переменные и операторы отдельных (независимых!) осцилляторов, для которых имеет место соотношений для уровней энергии

где - нумерует поляризацию