Метод наименьших квадратов

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Метод наименьших квадратов

Содержание

2. Метод возник и разработан в эпоху великих географических открытий. Гауссу (Carl Friedrich Gauss) приписывают создание основ
3. Наиболее ранний анализ систем линейных алгебраических уравнений приводится в древней китайской книге «Девять глав арифметики», предположительно
4. Метод решения задачи, предложенный древними китайцами, заключался в следующем. Разноцветные бамбуковые палочки, представляющие коэффициенты системы уравнений,
5. 16.10.2012 1820 watercolor charicatures of the French mathematicians Adrien-Marie Legendre (left) and Joseph Fourier (right) by
6. Карл Фридрих Гаусс 16.10.2012 Carl Friedrich Gauss (1777–1855), painted by Christian Albrecht Jensen
7. Цель состоит в подборе параметров пробной функции, описывающей экспериментальный набор данных. Простой набор данных состоит из
8. Одним из важных приложений нелинейного метода наименьших квадратов является задача подбора коэффициентов нелинейной модели. При этом
9. Обычная формулировка проблемы наименьших квадратов: Выбираем функцию, описывающую моделируемое явление: и хотим подобрать параметры модели таким
10. Минимизировать отыскав оптимальные значения параметров Здесь весовые коэффициенты задаются диагональной матрицей Метод наименьших квадратов 16.10.2012
11. Найти оптимальные значения параметров и , минимизировав Весовые коэффициенты задаются диагональными матрицами Обобщенный метод наименьших квадратов
12. Обобщенная проблема может быть решена с помощью любого метода минимизации нелинейной функции по (n+m) переменным не
13. где Решение по методу Ньютона 16.10.2012
14. Матрица является диагональной с элементами Метод Ньютона решения этой задачи приводит к решению системы линейных уравнений
15. При разработке методов решения полной задачи о наименьших квадратах важно учитывать специфическую структуру целевой функции и
16. Задача оптимизации называется сепарабельной, если ее оптимизация по одним переменным много проще, чем по другим. Обобщенная
17. В этом случае внедиагональные элементы матрицы обращаются в ноль и обе матрицы и становятся диагональными. Предполагая,
18. Полиномы ,ортогональные на множестве , могут быть получены по рекуррентным формулам где Приближенные методы Ньютона 16.10.2012
19. Итерации приближенного метода Ньютона начинаются с начальной точки и . Затем на каждой итерации вначале вычисляются
21. Скачать презентацию

Слайд 2

Метод возник и разработан в эпоху великих географических открытий. Гауссу (Carl

Friedrich Gauss) приписывают создание основ метода наименьших квадратов в 1795 году (18-ти лет от роду). Однако впервые (в 1805) результаты были опубликованы Лежандром (Legendre).
Наиболее ранняя демонстрация мощи метода была продемонстрирована в 1801 году, когда был снова обнаружен астероид Ceres на основе расчетов Гаусса по методу наименьших квадратов.
Гаусс опубликовал метод в работе 1809 года. Независимо от него метод опубликован также американцем Robert Adrain в 1808.

История метода наименьших квадратов

16.10.2012

http://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

Слайд 3

Наиболее ранний анализ систем линейных алгебраических уравнений приводится в древней китайской

книге «Девять глав арифметики», предположительно написанной за 200 лет до нашей эры. В самом начале VIII-ой главы формулируется следующая задача.
Три меры хорошего зерна, две меры посредственного и одна плохая продаются за 39 доу. Две меры хорошего, три меры посредственного и одна плохая продаются за 34 доу; одна мера хорошего, две посредственного и три плохого зерна продаются за 26 доу. Требуется определить, сколько стоит одна мера хорошего, посредственного и плохого зерна соответственно.
Сегодня задача может быть переформулирована следующим образом: Найти решение системы линейных алгебраических уравнений
где x, y и z представляют собой цены мер хорошего, посредственного и плохого зерна соответственно.

История метода наименьших квадратов

16.10.2012

Слайд 4

Метод решения задачи, предложенный древними китайцами, заключался в следующем.
Разноцветные

бамбуковые палочки, представляющие коэффициенты системы уравнений, помещались в соответствующие ячейки «матричной счетной доски» и построчно перемещались в соответствии с некоторыми эмпирическими правилами. Их техника «счетных досок» и набор правил перемещения цветных палочек сначала попала в Японию, а затем добралась и до Европы.
Здесь цветные палочки были заменены цифрами, а счетные доски трансформировались в записи на листах бумаги. В Европе этот алгоритм стал известен как метод исключения (неизвестных) Гаусса, получившим свое имя в честь великого немецкого математика Карла Гаусса, активно применявшим этот метод при решении многих практических задач.

История метода наименьших квадратов

16.10.2012

Слайд 5

16.10.2012
1820 watercolor charicatures of the French mathematicians Adrien-Marie Legendre (left) and

Joseph Fourier (right) by French artist Julien-Leopold Boilly, watercolor portrait numbers 29 and 30 of Album de 73 Portraits-Charge Aquarelle’s des Membres de I’Institute.

Слайд 6

Карл Фридрих Гаусс
16.10.2012
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), painted by Christian Albrecht Jensen

Слайд 7

Цель состоит в подборе параметров пробной функции,
описывающей экспериментальный набор данных.

Простой
набор данных состоит из n точек (пар данных), ,
где - независимые переменные и - зависимые,
полученные в результате наблюдений. Целевая функция
задается в виде f(x,β), где m параметров подгонки
сосредоточены в векторе β.
Цель состоит в отыскании таких параметров модели, которые
«наилучшим» образом аппроксимируют набор данных. Метод
наименьших квадратов минимизирует сумму, S, квадратов
невязок
Пример. Аппроксимация с помощью линейной функции.

Постановка задачи

16.10.2012

Слайд 8

Одним из важных приложений нелинейного метода наименьших квадратов является задача подбора

коэффициентов нелинейной модели. При этом обычно предполагается, что ошибки задания независимых переменных отсутствуют или малы. Однако во многих экспериментах могут присутствовать значительные ошибки измерения независимых переменных.

Обобщенная полная проблема наименьших квадратов

16.10.2012

Generalized Total Least Squares
CHENGXIAN XU
Xian Jiaotong University, Xian, China

Слайд 9

Обычная формулировка проблемы наименьших квадратов:
Выбираем функцию, описывающую моделируемое явление:
и хотим

подобрать параметры модели таким образом, чтобы функция аппроксимировала измеренные значения в заданных точках

Обобщенная полная проблема наименьших квадратов

16.10.2012

Слайд 10

Минимизировать
отыскав оптимальные значения параметров
Здесь весовые коэффициенты задаются диагональной матрицей
Метод наименьших квадратов
16.10.2012

Слайд 11

Найти оптимальные значения параметров
и , минимизировав
Весовые коэффициенты задаются диагональными
матрицами
Обобщенный метод

наименьших квадратов

16.10.2012

Слайд 12

Обобщенная проблема может быть решена с помощью
любого метода минимизации нелинейной

функции по
(n+m) переменным не используя специальной структуры
функции. Однако прямое использование таких методов не
является эффективным.
Предположим, что , и, следовательно,
дважды непрерывно дифференцируемы:

Решение по методу Ньютона

16.10.2012

Слайд 13

где
Решение по методу Ньютона
16.10.2012

Слайд 14

Матрица является диагональной с элементами
Метод Ньютона решения этой задачи приводит к
решению

системы линейных уравнений
для определения очередного приближения

Решение по методу Ньютона

16.10.2012

Слайд 15

При разработке методов решения полной задачи о наименьших квадратах важно учитывать

специфическую структуру целевой функции и ее производных, в частности, тот факт, что переменные и могут считаться независимыми.
Для полиномиальной аппроксимации измеренных данных
можно рассматривать приближенные методы Ньютона. Эти
методы используют вторые производные целевой функции
и по каждому из аргументов, но пренебрегают
вычислением смешанных производных и .

Приближенные методы Ньютона

16.10.2012

Слайд 16

Задача оптимизации называется сепарабельной, если ее оптимизация по одним переменным много

проще, чем по другим. Обобщенная полная проблема наименьших квадратов относится к таким задачам.
Рассмотрим метод, использующий необходимые условия первого порядка для разделения переменных и , после чего задача решается с использованием метода Ньютона.
Предположим, что аппроксимирующая функция
является полиномом вида
где , - множество ортогональных полиномов.

Приближенные методы Ньютона

16.10.2012

Слайд 17

В этом случае внедиагональные элементы матрицы
обращаются в ноль и обе

матрицы и
становятся диагональными. Предполагая, что элементы
матриц и пренебрежимо малы, получим
диагональную аппроксимацию матрицы Гессе:
Решение системы метода Ньютона имеет вид:

16.10.2012

Приближенные методы Ньютона

Слайд 18

Полиномы ,ортогональные на множестве ,
могут быть получены по рекуррентным формулам
где
Приближенные методы

Ньютона

16.10.2012

Слайд 19

Итерации приближенного метода Ньютона начинаются с
начальной точки и . Затем на

каждой
итерации вначале вычисляются ортогональные на множестве
точек полиномы , а затем определяется
очередное приближение к решению
Процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнуто решение с заданной точностью.
Дополнительное свойство этого метода заключается в том, что при необходимости решение может быть представлено в виде степеней параметра :

Приближенные методы Ньютона

16.10.2012

Метод наименьших квадратов

Содержание

Метод возник и разработан в эпоху великих географических открытий. Гауссу (Carl

Наиболее ранний анализ систем линейных алгебраических уравнений приводится в древней китайской

Метод решения задачи, предложенный древними китайцами, заключался в следующем. Разноцветные

16.10.20121820 watercolor charicatures of the French mathematicians Adrien-Marie Legendre (left) and

Карл Фридрих Гаусс16.10.2012Carl Friedrich Gauss (1777–1855), painted by Christian Albrecht Jensen

Цель состоит в подборе параметров пробной функции, описывающей экспериментальный набор данных.

Одним из важных приложений нелинейного метода наименьших квадратов является задача подбора

Обычная формулировка проблемы наименьших квадратов: Выбираем функцию, описывающую моделируемое явление: и хотим

Минимизироватьотыскав оптимальные значения параметровЗдесь весовые коэффициенты задаются диагональной матрицейМетод наименьших квадратов16.10.2012

Найти оптимальные значения параметров и , минимизировавВесовые коэффициенты задаются диагональнымиматрицамиОбобщенный метод

Обобщенная проблема может быть решена с помощью любого метода минимизации нелинейной

гдеРешение по методу Ньютона16.10.2012

Матрица является диагональной с элементамиМетод Ньютона решения этой задачи приводит крешению

При разработке методов решения полной задачи о наименьших квадратах важно учитывать

Задача оптимизации называется сепарабельной, если ее оптимизация по одним переменным много

В этом случае внедиагональные элементы матрицы обращаются в ноль и обе

Полиномы ,ортогональные на множестве ,могут быть получены по рекуррентным формуламгдеПриближенные методы

Итерации приближенного метода Ньютона начинаются сначальной точки и . Затем на

Похожие презентации

Метод решения задачи, предложенный древними китайцами, заключался в следующем.
Разноцветные

16.10.2012
1820 watercolor charicatures of the French mathematicians Adrien-Marie Legendre (left) and

Карл Фридрих Гаусс
16.10.2012
Carl Friedrich Gauss (1777–1855), painted by Christian Albrecht Jensen

Цель состоит в подборе параметров пробной функции,
описывающей экспериментальный набор данных.

Обычная формулировка проблемы наименьших квадратов:
Выбираем функцию, описывающую моделируемое явление:
и хотим

Минимизировать
отыскав оптимальные значения параметров
Здесь весовые коэффициенты задаются диагональной матрицей
Метод наименьших квадратов
16.10.2012

Найти оптимальные значения параметров
и , минимизировав
Весовые коэффициенты задаются диагональными
матрицами
Обобщенный метод

Обобщенная проблема может быть решена с помощью
любого метода минимизации нелинейной

где
Решение по методу Ньютона
16.10.2012

Матрица является диагональной с элементами
Метод Ньютона решения этой задачи приводит к
решению

В этом случае внедиагональные элементы матрицы
обращаются в ноль и обе

Полиномы ,ортогональные на множестве ,
могут быть получены по рекуррентным формулам
где
Приближенные методы

Итерации приближенного метода Ньютона начинаются с
начальной точки и . Затем на