Метод наименьших квадратов

Сентябрь 3, 2022

Главная
Алгебра
Метод наименьших квадратов

Содержание

2. Используемые в сочетании с квазиньютоновским методом процедуры линейного поиска получили широкое применение. Эти методы также используются
3. где и есть некие скалярные функции. Подобного типа задачи широко распространены и имеют ряд практических применений,
4. Метод наименьших квадратов 30.10.2012 При дискретизации интеграла посредством подходящих квадратурных формул уравнение может быть сформулировано как
5. В задачах данного типа невязка , по-видимому, должна быть наименьшей в точке оптимума, поскольку согласно общепринятой
6. После обозначения матрицы Якобиана для размерностью через , вектора градиента функции через , матрицы Гессе через
7. Матрица Q(x) обладает тем свойством, что когда невязка стремится к нулю при стремлении к точке решения,
8. В основу метода Левенбрга-Марквардта положено направление поиска, которое находится при решении системы линейных уравнений: где скаляр
9. В данном случае предполагается, что для достаточно больших значений остается справедливым Следовательно, член может быть контролируемым
10. Отсюда следует, что метод Левенберга—Марквардта основан на направлении поиска, являющегося сочетанием направления Ньютона—Гаусса и наискорейшего спуска.
12. Скачать презентацию

Слайд 2

Используемые в сочетании с квазиньютоновским методом процедуры линейного поиска получили широкое

применение. Эти методы также используются и в подпрограммах нелинейной оптимизации по методу наименьших квадратов. В задачах на метод наименьших квадратов подлежащая минимизации функция представляет собой сумму квадратов:

Метод наименьших квадратов

30.10.2012

Слайд 3

где и есть некие скалярные функции.
Подобного типа задачи широко распространены

и имеют ряд практических применений, особенно при подборе модельной функции для некого набора данных, т.е. определение нелинейных параметров модели. Эти задачи также широко распространены в теории управления, где в конечном итоге необходимо получить некую , соответствующую некой непрерывной модельной траектории для вектора и скаляра .

30.10.2012

Метод наименьших квадратов

Данная задача может быть сформулирована как:

Слайд 4

Метод наименьших квадратов
30.10.2012
При дискретизации интеграла посредством подходящих квадратурных формул уравнение может

быть сформулировано как задача на метод наименьших квадратов:

где - и включают в себя веса квадратичной схемы. Отметим, что в данной задаче под вектором понимается:

Слайд 5

В задачах данного типа невязка , по-видимому, должна быть наименьшей в

точке оптимума, поскольку согласно общепринятой практике необходимо провести искомую траекторию как можно ближе к реальной траектории. Хотя приведенная функция для метода наименьших квадратов (уравнение ) может быть минимизирована с помощью общего метода оптимизации без наличия ограничений, определенные характеристики данной задачи часто могут быть использованы для улучшения итеративной эффективности данной методики решения. Градиент и матрица Гессе для задачи метода наименьших квадратов имеют особую структуру.

Постановка задачи

30.10.2012

Слайд 6

После обозначения матрицы Якобиана для
размерностью через , вектора градиента функции

через , матрицы Гессе через и матрицы Гессе
для каждой через получим

30.10.2012

где

Постановка задачи

Слайд 7

Матрица Q(x) обладает тем свойством, что когда невязка стремится к нулю

при стремлении к точке решения, то и сама матрица стремится к нулю. Таким образом, при небольших значениях
в точке решения одним из наиболее эффективных методов является использование направления Ньютона—Гаусса в качестве основы для процедуры и оптимизации.

30.10.2012

Постановка задачи

Слайд 8

В основу метода Левенбрга-Марквардта положено направление поиска, которое находится при решении

системы линейных уравнений:
где скаляр задает как величину, так и направление
параметра . Когда равен нулю, то направление
будет идентично этому же параметру из метода
Ньютона—Гаусса. По мере того как стремится к
бесконечности, то стремится к вектору с нулевыми
компонентами и направлению наискорейшего спуска.

Метод Левенберга—Марквардта

30.10.2012

Слайд 9

В данном случае предполагается, что для достаточно
больших значений остается справедливым
Следовательно, член

может быть контролируемым с
целью обеспечения спуска в случае необходимости
учета членов второго порядка, которые, в свою
очередь, заметно ограничивают эффективность
метода Ньютона—Гаусса.

30.10.2012

Метод Левенберга—Марквардта

Слайд 10

Отсюда следует, что метод Левенберга—Марквардта основан на направлении поиска, являющегося сочетанием

направления Ньютона—Гаусса и наискорейшего спуска. Решение для функции Розенброка сходится после 90 обращений к расчету функции по сравнению с 48 для метода Ньютона—Гаусса. Такая низкая эффективность отчасти объясняется тем, что метод Ньютона—Гаусса обычно более эффективен в случае, когда в решении невязка равна нулю. Однако такая информация не всегда является заранее доступной, и повышенная устойчивость метода Левенберга—Марквардта компенсирует его иногда имеющую место слабую эффективность.

Метод Левенберга—Марквардта

30.10.2012

Метод наименьших квадратов

Содержание

Используемые в сочетании с квазиньютоновским методом процедуры линейного поиска получили широкое

где и есть некие скалярные функции. Подобного типа задачи широко распространены

Метод наименьших квадратов30.10.2012При дискретизации интеграла посредством подходящих квадратурных формул уравнение может

В задачах данного типа невязка , по-видимому, должна быть наименьшей в

После обозначения матрицы Якобиана для размерностью через , вектора градиента функции

Матрица Q(x) обладает тем свойством, что когда невязка стремится к нулю

В основу метода Левенбрга-Марквардта положено направление поиска, которое находится при решении

В данном случае предполагается, что для достаточнобольших значений остается справедливымСледовательно, член

Отсюда следует, что метод Левенберга—Марквардта основан на направлении поиска, являющегося сочетанием

Похожие презентации

где и есть некие скалярные функции.
Подобного типа задачи широко распространены

Метод наименьших квадратов
30.10.2012
При дискретизации интеграла посредством подходящих квадратурных формул уравнение может

После обозначения матрицы Якобиана для
размерностью через , вектора градиента функции

В данном случае предполагается, что для достаточно
больших значений остается справедливым
Следовательно, член