Определение непрерывности функции в точке

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Определение непрерывности функции в точке

Содержание

2. Определение непрерывности функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, называется
3. Обозначим Δх = х – а – приращение аргумента. Тогда х = а + Δх. И
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а слева, если
5. Точки разрыва Пусть функция f(x), определена в некоторой проколотой окрестности точки а. Точка а называется точкой
6. 1. Устранимый разрыв. Если существует но функция не определена в этой точке или то а называют
7. 2. Разрыв первого рода. Если в точке а существуют но f (a - 0) ≠ f
8. 3. Разрыв второго рода. Если в точке а не существует хотя бы один из односторонних пределов,
9. Свойства функций, непрерывных в точке Если функция непрерывна в точке а, то существует такая окрестность этой
10. Доказательство. Свойства 1 – 3 являются следствием определения непрерывности и соответствующих свойств пределов функции. Докажем свойство
11. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если
12. Доказательство. Предположим, что функция не ограничена сверху на отрезке, т.е. для любого числа n∈Ν найдется xn∈[a,
13. ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например, функция f(x)=1/х непрерывна на
14. О достижимости функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней ТЕОРЕМА (вторая теорема Вейерштрасса) Если f(x)∈C[a, b],
15. Эта функция непрерывна на отрезке, а значит и ограничена сверху на этом отрезке, то есть существует
16. ЗАМЕЧАНИЯ. 1)Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например, функция f(x)= х непрерывна на
18. Скачать презентацию

Слайд 2

Определение непрерывности функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция f(x), определенная в некоторой полной

окрестности точки а, называется непрерывной в точке а, если
то есть если

f(a)

a - δ

a + δ

f(a) + ε

f(a) - ε

y = f(x)

Слайд 3

Обозначим Δх = х – а – приращение аргумента. Тогда х

= а + Δх. И непрерывность функции в точке а означает, что приращение функции
f(а + Δх) – f(а) → 0 при Δх → 0.
ПРИМЕР.
Покажем, что функция f(x) = х2 непрерывна в любой точке а своей области определения.
Найдем приращение функции
f(а + Δх) – f(а) = (а + Δх)2 – а2 = 2аΔх + (Δх)2 → 0 при Δх → 0.
Следовательно, функция непрерывна в точке а.

a + Δx

f(a)

f(a + Δx)

y = f(x)

Слайд 4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в

точке а слева, если
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция f(x), определенная в правой полуокрестности точки а, называется непрерывной в точке а справа, если
ТЕОРЕМА.
Функция f(x), определенная в некоторой полной окрестности точки а, непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке слева и справа.

Слайд 5

Точки разрыва
Пусть функция f(x), определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

Точка а называется точкой разрыва функции в следующих случаях:
Функция не определена в этой точке;
Функция определена в точке а, но
не существует
существует
Различают следующие три типа точек разрыва:

Слайд 6

1. Устранимый разрыв.
Если существует но функция не определена в этой точке

или то а называют точкой устранимого разрыва.
ПРИМЕРЫ.
1)
2) f(x) = (signx)2;

Слайд 7

2. Разрыв первого рода.
Если в точке а существуют
но
f (a -

0) ≠ f (a + 0),
то это точка разрыва первого рода.
Разность f (a +0) – f (a – 0) называется скачком функции в точке а.
ПРИМЕР.

Слайд 8

3. Разрыв второго рода.
Если в точке а не существует хотя бы

один из односторонних пределов, то это точка разрыва второго рода.
ПРИМЕР.

Слайд 9

Свойства функций, непрерывных в точке
Если функция непрерывна в точке а, то

существует такая окрестность этой точки, в которой функция ограничена.
Если функция непрерывна в точке а и отлична от нуля, то существует такая окрестность этой точки, в которой функция сохраняет знак числа f (a).
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а, то их сумма, произведение и частное (если g(а) ≠ 0) непрерывны в этой точке.
4. Если функция z = f(y) непрерывна в точке yo , а функция y = ϕ(x) непрерывна в точке хо, причем yo= ϕ(xо), то в некоторой окрестности точки хо определена сложная функция f(ϕ(x)), непрерывная в точке хо.

Слайд 10

Доказательство.
Свойства 1 – 3 являются следствием определения непрерывности и соответствующих свойств

пределов функции.
Докажем свойство 4.
Возьмем произвольное число ε > 0.
В силу непрерывности функции z = f(y) в точке yo найдется число
В силу непрерывности функции y = ϕ(x) в точке хо для найденного числа ρ найдется число
Итак,
Это значит, что, в силу определения непрерывности, функция f(ϕ(x)), определенная в окрестности точки хо, непрерывна в точке хо.

Слайд 11

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Функция f(x) называется непрерывной

на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке отрезка, непрерывна в точке а справа, в точке b слева.
Множество функций, непрерывных на [a,b], обозначается как C[a,b].
Об ограниченности непрерывной на отрезке функции
ТЕОРЕМА (первая теорема Вейерштрасса)
Если f(x)∈C[a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Слайд 12

Доказательство.
Предположим, что функция не ограничена сверху на отрезке, т.е. для

любого числа n∈Ν найдется xn∈[a, b], такое что f(xn) > n. Т.е. найдется такая последовательность значений аргумента {xn}, что соответствующая ей последовательность значений функции {f(xn)} будет бесконечно большой. Эта последовательность значений аргумента ограничена, значит, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, причем
В силу непрерывности функции
Но
как подпоследовательность бесконечно большой последовательности.
Полученное противоречие доказывает теорему.

Слайд 13

ЗАМЕЧАНИЯ.
1) Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка.

Например, функция f(x)=1/х непрерывна на (0, 1], но не ограничена на этом интервале.
2) Теорема не верна для функции, разрывной на отрезке, например

Слайд 14

О достижимости функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней
ТЕОРЕМА (вторая теорема

Вейерштрасса)
Если f(x)∈C[a, b], то она достигает на этом отрезке своих точной нижней и верхней граней.
Доказательство.
Так как функция непрерывна на отрезке, то множество ее значений ограничено и, следовательно, имеет точную верхнюю и нижнюю грани. Пусть
Требуется доказать, что на отрезке найдутся точки, значения функции в которых равны m и М. Предположим, что f(x)< M во всех точках отрезка. Введем вспомогательную функцию
.

Слайд 15

Эта функция непрерывна на отрезке, а значит и ограничена сверху на

этом отрезке, то есть существует С > 0, такое что
откуда
То есть число М не является наименьшей из верхних граней, что противоречит определению точной верхней грани.
Следовательно, найдется такая точка х1∈[a,b], что f(x1)=М.
Аналогично доказывается для нижней грани.

Слайд 16

ЗАМЕЧАНИЯ.
1)Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка. Например,

функция f(x)= х непрерывна на (0, 1), но не достигает на этом интервале своих точных граней.
2) Теорема не верна для функции, разрывной на отрезке, например

0.5

Определение непрерывности функции в точке

Содержание

Определение непрерывности функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в некоторой полной

Обозначим Δх = х – а – приращение аргумента. Тогда х

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x), определенная в левой полуокрестности точки а, называется непрерывной в

Точки разрыва Пусть функция f(x), определена в некоторой проколотой окрестности точки а.

1. Устранимый разрыв. Если существует но функция не определена в этой точке

2. Разрыв первого рода. Если в точке а существуютно f (a -

3. Разрыв второго рода. Если в точке а не существует хотя бы

Свойства функций, непрерывных в точке Если функция непрерывна в точке а, то

Доказательство. Свойства 1 – 3 являются следствием определения непрерывности и соответствующих свойств

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется непрерывной

Доказательство. Предположим, что функция не ограничена сверху на отрезке, т.е. для

ЗАМЕЧАНИЯ. 1) Теорема не верна в случае интервала, а не отрезка.

О достижимости функцией, непрерывной на отрезке, своих точных гранейТЕОРЕМА (вторая теорема