Замечательные пределы и следствия из них

Первый замечательный предел

Рассмотрим круг единичного радиуса с центром в точке

Так как
то последнее неравенство справедливо и для
Отсюда, в частности, следует, что
Оценим

Второй замечательный предел

Напомним, что
Далее покажем, что
Пусть х >1. Положим

Найдем пределы последовательностей в левой и правой частях неравенства:
Следовательно, по теореме

Покажем, что
Пусть х < – 1. Сделаем замену х = –

Замена переменной при вычислении пределов.

ТЕОРЕМА.
Пусть существуют
Пусть, кроме того, f(x) ≠ b

Следствия замечательных пределов.

Доказать, что:

1)

Доказательство.

2)

Доказательство.

3)

4)

Доказательство.

Доказательство.

Пусть arcsinx = y.
Tогда y→0 при х→0;

.

5)

6)

7)

8)

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

e, x → 0

→ lne = 1.

Пусть ex - 1 =

.

9)

10)

11)

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть y = ( 1+x)a - 1 = ealn(1+x) - 1.

Сравнение функций.

Функции одного порядка. Символ «О-большое».
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функции f(x) и

Эквивалентные функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой проколотой

Пусть α(х) – бесконечно малая при х → а функция. Тогда

ТЕОРЕМА. (Замена функций на эквивалентные при вычислении предела.)
Пусть f(x) ~ f1(x),

ПРИМЕРЫ.
1)
2)
Если бы мы формально заменили функции, стоящие в числителе дроби, на

Понятие функции, бесконечно малой по сравнению с другой функцией. Символ «о-малое».

Пусть

Свойства символа «о-малое».

Отметим некоторые важные свойства символа о(g(x)), считая, что х

Асимптотическое представление функций.

ТЕОРЕМА.
f(x) ~ g(x) при х → а ⇔

Пусть α(х) →0 при х → а. Тогда при х →

ПРИМЕР.
Используя асимптотические представления функций, найдем предел