Основной математический аппарат

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Основной математический аппарат

Содержание

2. 3.1. δ – функция Дирака В 1930 году для решения задач теоретической физики английскому физику П.
3. δ – функция Дирака П. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом: Кроме того задается условие:
4. δ – функция Дирака
5. δ – функция Дирака
6. кафедра ЮНЕСКО по НИТ δ – функция Дирака Чем более узкой сделать полоску между левой и
7. кафедра ЮНЕСКО по НИТ δ – функция Дирака δ(x) не является функцией в обычном смысле, так
8. кафедра ЮНЕСКО по НИТ δ – функция Дирака Функции, из которых предельным переходом получается δ –
9. Функция единичного скачка Определим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией Хевисайда: Ee график 1 x
10. Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел
11. то очевидно, что производными для таких функций служат ступенчатые функции (прямоугольные импульсы !), последовательность которых стремится
12. 3.2. Функция распределения дискретной случайной величины Пусть дискретная случайная величина X(ω) принимает три значения x1 =
13. Функция распределения дискретной случайной величины Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины X(ω) по определению равна
14. Функция распределения дискретной случайной величины График этой функция распределения FX(x): 1/2 5/6 FX(x) 1 0 2
15. Функция распределения дискретной случайной величины Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не
16. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Функция распределения дискретной случайной величины Для построения функции плотности pX(x) вначале построим
17. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Вернемся к функции распределения FX(x): 1/2 5/6 FX(x) 1 0 2 x
18. Функция распределения дискретной случайной величины Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x)
19. Функция распределения дискретной случайной величины Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в
20. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Функция распределения дискретной случайной величины Такая функция pX(x) удовлетворяет всем свойствам функции
21. кафедра ЮНЕСКО по НИТ 3.2. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений. Оно преобразует
22. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа L{ f(t)} = F(s) Дифференц уравнение f(t) Алгебраическое уравн F(s)
23. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t ≥ 0,
24. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда) Решение. При
25. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat Решение. При Re (a-s)
26. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Функция Хевисайда от аргумента (x-a) - важная ступенчатая функция, найдем
27. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда с параметром a>0. Если
28. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Существуют таблицы преобразований Лапласа f(t) F(s) _ _ _ _
29. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t))
30. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции δ(t -
31. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к диф уравнению RC-цепи. x(t) =
32. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к диф уравнению RC-цепи. Если задана
33. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к диф уравнению колебания. y′′(t) +
34. кафедра ЮНЕСКО по НИТ 3.3. Обратное преобразование Лапласа Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами интегрирования от
35. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Прямая линии C: Re s = c, c =
36. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Интегрирование функции от двух переменных по
37. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если контур замкнут и функция f(x,y)
38. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если при этом функция f(x,y) от
39. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если , то вычет в точке
40. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции Требуется вычислить интеграл
41. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование для F(s) Функцию дробно-рационального вида
42. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование для F(s) Тогда Лаплас прообраз
43. Page Обратное преобразование Лапласа Преобразование Лапласа от свертки Доказательство:
45. Скачать презентацию

Слайд 2

3.1. δ – функция Дирака
В 1930 году для решения задач теоретической

физики английскому физику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил за рамки классического определения функции.

Слайд 3

δ – функция Дирака
П. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:
Кроме

того задается условие:

Слайд 4

δ – функция Дирака

Слайд 5

δ – функция Дирака

Слайд 6

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
δ – функция Дирака
Чем более узкой сделать

полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(x) = 0 при x ≠ 0, то есть функция приближается к дельта-функции. Такая функция широко применяется в радиофизике.

Слайд 7

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
δ – функция Дирака
δ(x) не является функцией

в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:

при

но

В классической математике такая функция не существует

Слайд 8

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
δ – функция Дирака
Функции, из которых предельным

переходом получается δ – функция могут быть непрерывными и разрывными.
Импульс в электротехнике – это одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения.
В математической модели импульс соответствует δ – функции.

Слайд 9

Функция единичного скачка
Определим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией

Хевисайда:
Ee график 1
x
0

Слайд 10

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме

x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида,
1
x
0

Функция единичного скачка

Слайд 11

то очевидно, что производными для таких функций служат ступенчатые функции (прямоугольные

импульсы !), последовательность которых стремится к δ-функции. Таким образом, производной функции Хевисайда является δ-функция.
Применение функции Хевисайда и δ-функции сохраняет математических свойств в приложениях (например, в теории вероятностей) и позволяет применять аппарат математического анализа.

Функция единичного скачка

Слайд 12

3.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина X(ω)

принимает три значения x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 с вероятностями:

Слайд 13

Функция распределения дискретной случайной величины
Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной

величины X(ω) по определению равна FX(x) = P{X(ω) ≤ x}, она равна

Слайд 14

Функция распределения дискретной случайной величины
График этой функция распределения FX(x):
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1

Слайд 15

Функция распределения дискретной случайной величины
Как известно из теории вероятностей, производной

такой функция распределения FX(x) не существует, то есть случайная величина X(ω) не имеет функции плотности распределения pX(x) = F′X(x).
Но применяя δ-функцию, можно построить функции плотности распределения pX(x) и для X(ω).

Слайд 16

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Функция распределения дискретной случайной величины
Для построения функции

плотности pX(x) вначале построим функцию распределения FX(x) с использованием функции единичного скачка
График функции а 1( x – c )
a
x
0 с

Слайд 17

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Вернемся к функции распределения FX(x):
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1
Функция единичного скачка

Слайд 18

Функция распределения дискретной случайной величины
Такую функцию плотности FX(x) можно выразить

через функцию единичного скачка 1(x) . В точках разрыва функция распределения FX(x) увеличивается на вероятность в точке разрыва, то выполняется скачок, например, в точке x=1 скачок равен 1/3. Этот скачок можно выразить функцией Хевисайда с коэффициентом 1/3.
- это скачок на 1/3 в точке x=1.

Слайд 19

Функция распределения дискретной случайной величины
Функцию плотности FX(x) можно записать через

функцию единичного скачка 1(x) в следующем виде
производная функции FX(x) :
pX(x) = F′X(x) = 1/2 δ(x) + 1/3 δ(x-1) + 1/6 δ(x-2)

Слайд 20

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Функция распределения дискретной случайной величины
Такая функция pX(x)

удовлетворяет всем свойствам функции плотности. Ее график приблизительно такой:

Слайд 21

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
3.2. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа применяется для

исследования дифференциальных уравнений. Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое, которое обычно решается проще. Затем полученное решение может быть преобразовано к решению дифференциального уравнения обратным преобразование Лапласа.

Слайд 22

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
L{ f(t)} = F(s)
Дифференц
уравнение f(t)
Алгебраическое
уравн

F(s)

Решение алг
уравнения F(s)

Решение диф
уравнение f(t)

L-1{F(s)} = f(t)

Прямое

Обратное

Слайд 23

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t),

определенной для t ≥ 0, называется интегральное преобразование:
(обычно требуется брать интеграл по частям).
Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной.

Слайд 24

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции

единичного скачка (Хевисайда)
Решение.
При Re s > 0 этот несобственный интеграл сходится и равен -1/s, при Re s 0 интеграл не существует.
Таким образом, если Re s > 0 , то

Слайд 25

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции

eat
Решение.
При Re (a-s) > 0 интеграл сходится.

Слайд 26

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Функция Хевисайда от аргумента (x-a)

- важная ступенчатая функция, найдем ее Лаплас-образ для a > 0. График этой функции:

Слайд 27

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Найдем преобразование Лапласа для функции

Хевисайда с параметром a>0.
Если Re s > 0, то интеграл сходится и

Слайд 28

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Существуют таблицы преобразований Лапласа
f(t)

F(s)
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Слайд 29

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность: L(a·f(t)

+ b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)).
2. Свойство сдвига: если Re (s-a) > 0 и L(f) = F, то
L(eat f(t)) = F(s-a).
3. Преобразование производной: L(f′) = sL(f) – f(0).
4. Преобразование интеграла:

Слайд 30

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Применяя свойство 3 найдем преобразование

Лапласа для дельта-функции δ(t - a). Эта функция является производной от функции Хевисайда 1(t - a), для которой
Тогда

Слайд 31

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Применение преобразования Лапласа к

диф уравнению RC-цепи.
x(t) = С*R * y′(t) + y(t)
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. По свойству линейности получаем:
L(x(t)) = СR L(y′(t)) + L(y(t))
По свойству преобразования производной:
L(x) = СR (sL(y)-y(0)) + L(y), пусть y(0) = k.
Отсюда L(x) = L(y)(1+CRs) – CRk
То есть

Слайд 32

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Применение преобразования Лапласа к

диф уравнению RC-цепи.
Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас –образ решения!).
Преобразование Лапласа дифференциального уравнения привело к простому алгебраическому уравнению. Теперь дело за возвратом к исходной переменной t, то есть требуется обратное преобразование.

Слайд 33

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Применение преобразования Лапласа к

диф уравнению колебания.
y′′(t) + ω2y(t) = r(t)
Дважды применяя свойство преобразования производной,
получаем
s2 Y(s) – sy(0) – y′(0) + ω2Y(s) = R(s), где Y и R обозначают Лаплас-образы соответствующих функций.
Решая полученное алгебраическое уравнение, получаем

Слайд 34

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
3.3. Обратное преобразование Лапласа
Преобразования Лапласа содержит

интеграл с пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что функция f(t) = 0 для t < 0.
Обратным преобразованием Лапласа функции F(s) называется интегральное преобразование
где путь интегрирования идет вдоль прямой линии
C: Re s = c, c = const

Слайд 35

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Прямая линии
C: Re

s = c, c = const
имеет график

Re s

Im s

Слайд 36

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Интегрирование функции

от двух переменных по контуру

Слайд 37

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если контур

замкнут и функция f(x,y) от двух переменных имеет производные всех порядков по x, по у и смешанные производные, то
=0

Слайд 38

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если при

этом функция f(x,y) от двух переменных имеет производные во всех точках внутри контура, кроме точки z=(x0, y0) то
= 2πi Вычет(f(z))

Слайд 39

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если ,

то вычет в точке a=(x0, y0) равен g(a).

Слайд 40

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование

Лапласа функции
Требуется вычислить интеграл

Re s

Im s

Слайд 41

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование

для F(s)
Функцию дробно-рационального вида интегрируют простыми правилами.
F(s) разлагается в сумму простых дробей:
Коэффициенты k1, k2 вычисляются решением линейных уравнений.

Слайд 42

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование

для F(s)
Тогда Лаплас прообраз функции F(s):
Существуют таблицы обратного преобразования Лапласа

Слайд 43

Основной математический аппарат

Содержание

3.1. δ – функция ДиракаВ 1930 году для решения задач теоретической

δ – функция ДиракаП. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:Кроме

δ – функция Дирака

δ – функция Дирака

кафедра ЮНЕСКО по НИТ δ – функция ДиракаЧем более узкой сделать

кафедра ЮНЕСКО по НИТ δ – функция Диракаδ(x) не является функцией

кафедра ЮНЕСКО по НИТ δ – функция ДиракаФункции, из которых предельным

Функция единичного скачкаОпределим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме

то очевидно, что производными для таких функций служат ступенчатые функции (прямоугольные

3.2. Функция распределения дискретной случайной величиныПусть дискретная случайная величина X(ω)

Функция распределения дискретной случайной величиныТогда функция распределения FX(x) дискретной случайной

Функция распределения дискретной случайной величиныГрафик этой функция распределения FX(x):1/25/6FX(x)102x1

Функция распределения дискретной случайной величиныКак известно из теории вероятностей, производной

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Функция распределения дискретной случайной величиныДля построения функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТВернемся к функции распределения FX(x):1/25/6FX(x)102x1 Функция единичного скачка

Функция распределения дискретной случайной величиныТакую функцию плотности FX(x) можно выразить

Функция распределения дискретной случайной величиныФункцию плотности FX(x) можно записать через

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Функция распределения дискретной случайной величиныТакая функция pX(x)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ 3.2. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа применяется для

кафедра ЮНЕСКО по НИТПреобразование Лапласа L{ f(t)} = F(s)Дифференц уравнение f(t)Алгебраическоеуравн

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t),

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Функция Хевисайда от аргумента (x-a)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Существуют таблицы преобразований Лапласа f(t)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа1. Линейность: L(a·f(t)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Применяя свойство 3 найдем преобразование

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Преобразование Лапласа Пример. Применение преобразования Лапласа к

кафедра ЮНЕСКО по НИТ 3.3. Обратное преобразование Лапласа Преобразования Лапласа содержит

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Прямая линии C: Re

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математикуИнтегрирование функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математикуЕсли контур

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математикуЕсли при

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математикуЕсли ,

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование

кафедра ЮНЕСКО по НИТ Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование

Page Обратное преобразование ЛапласаПреобразование Лапласа от свертки Доказательство:

Похожие презентации

3.1. δ – функция Дирака
В 1930 году для решения задач теоретической

δ – функция Дирака
П. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:
Кроме

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
δ – функция Дирака
Чем более узкой сделать

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
δ – функция Дирака
δ(x) не является функцией

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
δ – функция Дирака
Функции, из которых предельным

Функция единичного скачка
Определим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией

3.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина X(ω)

Функция распределения дискретной случайной величины
Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной

Функция распределения дискретной случайной величины
График этой функция распределения FX(x):
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1

Функция распределения дискретной случайной величины
Как известно из теории вероятностей, производной

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Функция распределения дискретной случайной величины
Для построения функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Вернемся к функции распределения FX(x):
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1
Функция единичного скачка

Функция распределения дискретной случайной величины
Такую функцию плотности FX(x) можно выразить

Функция распределения дискретной случайной величины
Функцию плотности FX(x) можно записать через

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Функция распределения дискретной случайной величины
Такая функция pX(x)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
3.2. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа применяется для

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
L{ f(t)} = F(s)
Дифференц
уравнение f(t)
Алгебраическое
уравн

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t),

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Функция Хевисайда от аргумента (x-a)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Найдем преобразование Лапласа для функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Существуют таблицы преобразований Лапласа
f(t)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность: L(a·f(t)

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Применяя свойство 3 найдем преобразование

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Применение преобразования Лапласа к

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Применение преобразования Лапласа к

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Преобразование Лапласа
Пример. Применение преобразования Лапласа к

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
3.3. Обратное преобразование Лапласа
Преобразования Лапласа содержит

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Прямая линии
C: Re

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Интегрирование функции

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если контур

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если при

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если ,

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование

Page
Обратное преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа от свертки
Доказательство: