Основной математический аппарат

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Основной математический аппарат

Содержание

2. Основной математический аппарат 3.1. δ – функция Дирака. 3.2. Функция единичного скачка. 3.3. Функция распределения дискретной
3. 3.1. δ – функция Дирака В 1930 году для решения задач теоретической физики английскому физику П.
4. δ – функция Дирака
5. δ – функция Дирака
6. δ – функция Дирака Чем более узкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше
7. δ – функция Дирака Функции, из которых предельным переходом получается δ – функция могут быть непрерывными
8. 3.2. Функция единичного скачка Определим функцию единичного скачка, которая называется еще функцией Хевисайда: Ee график 1
9. Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме x=0. В этой точке предел
10. То функции такого вида выражаются в виде Функция единичного скачка x A (x = 0, y
11. Производные таких функций равны Функция единичного скачка При а = 1, 2, … получается последовательность производных,
12. 3.3. Функция распределения дискретной случайной величины Пусть дискретная случайная величина X(ω) принимает три значения x1 =
13. Функция распределения дискретной с.в. Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины X(ω) по определению равна FX(x)
14. График этой функция распределения FX(x): Функция распределения дискретной с.в. 1/2 5/6 FX(x) 1 0 2 x
15. Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не существует, то есть случайная величина
16. кафедра ЮНЕСКО по НИТ Для построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию распределения FX(x) с использованием
17. Вернемся к функции распределения FX(x): 1/2 5/6 FX(x) 1 0 2 x 1 Функция распределения дискретной
18. Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x) . В точках разрыва функция
19. Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в следующем виде производная функции FX(x)
20. 3.4. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений. Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое,
21. Преобразование Лапласа L{ f(t)} = F(s) Дифференц уравнение f(t) Алгебраическое уравн F(s) Решение алг уравнения F(s)
22. Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t ≥ 0, называется интегральное преобразование: (для
23. Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда) Решение. При Re s > 0
24. Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat Решение. При Re (a-s)
25. Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда 1(x-a) с параметром a>0. Если Re s >
26. Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функций sin ωt и cos ωt с параметром ω≠0. Интегрирование
27. Преобразование Лапласа Переходит к определенному интегралу :
28. Преобразование Лапласа Упражнение. Найти преобразование Лапласа для функций f(t) = t, f(t) = t2.
29. Преобразование Лапласа Существуют таблицы преобразований Лапласа
30. Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа 1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)). 2. Свойство
31. Преобразование Лапласа
32. Доказательство интегрального свойства (свойство 4) Преобразование Лапласа Тогда Определим функцию g(t) :
33. (иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому Преобразование Лапласа Значение нижней подстановки равно 0,
34. Преобразование Лапласа Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции δ(t - a), (а>0). Эта функция
35. 3.5.Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа Применение преобразования Лапласа к диф уравнению RC-цепи. x(t) = С*R *
36. Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального уравнения (но это Лаплас–образ решения!).
37. Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа
38. Пример. Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания : y′′(t) + ω2y(t) = r(t) Дважды применяя
39. Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t. Тогда Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа
40. Графики входного и выходного сигналов : Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа
41. 3.6. Обратное преобразование Лапласа Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами интегрирования от 0 до +∞. Будем
42. Обратное преобразование Лапласа Прямая линии C: Re s = c, c = const имеет график 0
43. Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику 1) Если контур замкнут и комплексная функция f(z), z=x+iy имеет
44. Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику 2) Если комплексная функция f(z) имеет эти производные во всех
45. Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику Если , g(z) – аналитическая функция, то вычет в точке
46. Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти интеграл по контуру от комплексной функции Заменяем переменную s на α
47. The Laplace Transform Pair Inverse Transform: The above integration makes use of the Cauchy Principal Value
48. Обратное преобразование Лапласа Существуют 2 способа вычисления обратного преобразования Лапласа : 1) вычислять интеграл на прямой
49. Обратное преобразование Лапласа
50. Обратное преобразование Лапласа Обратное преобразование Лапласа от рациональной функции. Функция F(s) называется рациональной, если где N(s)
51. Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции Требуется вычислить интеграл 0 с Re s
52. Обратное преобразование Лапласа Рациональную функцию F(s) интегрируют простыми правилами. 1) F(s) разлагается в сумму простых дробей,
53. Page Обратное преобразование Лапласа Преобразование Лапласа от свертки Доказательство:
54. Page Обратное преобразование Лапласа В частности, для свертки с импульсом получается: Обратное преобразование от произведения функций
55. Page Обратное преобразование Лапласа Покажем, что :
56. 3.7.z-преобразование Цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей (дискретных значений сигнала). Для обработки
58. Скачать презентацию

Слайд 2

Основной математический аппарат
3.1. δ – функция Дирака.
3.2. Функция единичного скачка.
3.3. Функция

распределения дискретной случайной величины.
3.4. Преобразование Лапласа.
3.5. Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа.
3.6. Обратное преобразование Лапласа.
3.7. z-преобразование.

Слайд 3

3.1. δ – функция Дирака
В 1930 году для решения задач теоретической

физики английскому физику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил за рамки классического определения функции.
П. Дирак определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:

Слайд 4

δ – функция Дирака

Слайд 5

δ – функция Дирака

Слайд 6

δ – функция Дирака
Чем более узкой сделать полоску между левой

и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(x) = 0 при x ≠ 0, то есть функция приближается к дельта-функции. Такая функция моделирует импульс и широко применяется в радиофизике.
δ(x) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла (то есть такая функция не существует):

Слайд 7

δ – функция Дирака
Функции, из которых предельным переходом получается δ

– функция могут быть непрерывными и разрывными.
Импульс в электротехнике – это одиночный, кратковременный скачок электрического тока или напряжения.
Обычно математическая модель импульса - это δ – функция.
В частности, для свертки

Слайд 8

3.2. Функция единичного скачка
Определим функцию единичного скачка, которая называется еще

функцией Хевисайда:
Ee график 1
x
0

Слайд 9

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме

x=0. В этой точке предел отношения приращения функции и приращению аргумента уходит на бесконечность. Если построить последовательность кусочно-линейных функций вида,
1
x
0

Функция единичного скачка

Слайд 10

То функции такого вида выражаются в виде
Функция единичного скачка
x
A

(x = 0, y = 1/2)

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А :

Если положить а = 1, 2, …, ∞, то кусочно-линейная функция на графике стремится к функции Хевисайда.

Слайд 11

Производные таких функций равны
Функция единичного скачка
При а = 1, 2,

… получается последовательность производных, совпадающих с прямоугольными функциями, при а → ∞ стремящимися к δ-функции.

Слайд 12

3.3. Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина X(ω)

принимает три значения x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2 с вероятностями:

Слайд 13

Функция распределения дискретной с.в.
Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины

X(ω) по определению равна FX(x) = P{X(ω) ≤ x}, для нашего примера она равна

Слайд 14

График этой функция распределения FX(x):
Функция распределения дискретной с.в.
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1

Слайд 15

Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не

существует, то есть случайная величина X(ω) не имеет функции плотности распределения pX(x) = F′X(x).
Но применяя δ-функцию, можно построить функции плотности распределения pX(x) и для X(ω).

Функция распределения дискретной с.в.

Слайд 16

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Для построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию

распределения FX(x) с использованием функции единичного скачка
График функции а 1( x – c )
a
x
0 с

Функция распределения дискретной с.в.

Слайд 17

Вернемся к функции распределения FX(x):
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1
Функция распределения дискретной с.в.

Слайд 18

Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x)

. В точках разрыва функция распределения FX(x) увеличивается на вероятность в точке разрыва, то выполняется скачок, например, в точке x=1 скачок равен 1/3. Этот скачок можно выразить функцией Хевисайда с коэффициентом 1/3.
- это скачок на 1/3 в точке x=1.

Функция распределения дискретной с.в.

Слайд 19

Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в

следующем виде
производная функции FX(x) :
pX(x) = F′X(x) = 1/2 δ(x) + 1/3 δ(x-1) + 1/6 δ(x-2)

Функция распределения дискретной с.в.

Такая функция pX(x) удовлетворяет всем свойствам функции плотности. Ее график приблизительно такой:

Слайд 20

3.4. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений.

Оно преобразует дифференциальное уравнение в алгебраическое, которое обычно решается проще. Затем полученное решение может быть преобразовано к решению дифференциального уравнения обратным преобразование Лапласа.

Слайд 21

Преобразование Лапласа
L{ f(t)} = F(s)
Дифференц
уравнение f(t)
Алгебраическое
уравн F(s)
Решение алг
уравнения

F(s)

Решение диф
уравнение f(t)

L-1{F(s)} = f(t)

Прямое

Обратное

Слайд 22

Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t

≥ 0, называется интегральное преобразование:
(для вычисления интеграла обычно требуется брать интеграл по частям).
Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной.
Преобразованием Лапласа – это оператор L[·] от функции f(t), точнее, интегральный оператор.

Слайд 23

Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда)
Решение.

При Re s > 0 этот несобственный интеграл сходится и равен -1/s, при Re s ≤ 0 интеграл не существует (интеграл расходится).
Таким образом, если Re s > 0 , то

Слайд 24

Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat
Решение.
При Re

(a-s) < 0 интеграл сходится.

Слайд 25

Преобразование Лапласа
Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда 1(x-a) с

параметром a>0.
Если Re s > 0, то интеграл сходится и

Слайд 26

Преобразование Лапласа
Найдем преобразование Лапласа для функций sin ωt и

cos ωt с параметром ω≠0. Интегрирование по частям дает :

Подставляем в первую формулу второе выражение и решая полученное уравнение, получаем :

Слайд 27

Преобразование Лапласа
Переходит к определенному интегралу :

Слайд 28

Преобразование Лапласа
Упражнение. Найти преобразование Лапласа для функций f(t) =

t, f(t) = t2.

Слайд 29

Преобразование Лапласа
Существуют таблицы преобразований Лапласа

Слайд 30

Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t))

+ b·L(g(t)).
2. Свойство сдвига: если Re (s-a) > 0 и L(f) = F, то
L(eat f(t)) = F(s-a).
3. Преобразование производной: L(f′) = sL(f) – f(0).
4. Преобразование интеграла: если функция f(t) ограничена экспонентой:

Для некоторого вещественного α>0, то

Слайд 31

Преобразование Лапласа

Слайд 32

Доказательство интегрального свойства (свойство 4)
Преобразование Лапласа
Тогда
Определим функцию g(t) :

Слайд 33

(иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому
Преобразование Лапласа
Значение

нижней подстановки равно 0, так как

Слайд 34

Преобразование Лапласа
Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции

δ(t - a), (а>0). Эта функция является производной от функции Хевисайда 1(t - a), мы нашли, что
Тогда по свойству 3

Слайд 35

3.5.Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа
Применение преобразования Лапласа к диф

уравнению RC-цепи.
x(t) = С*R * y′(t) + y(t)
Применим преобразование Лапласа к обеим частям уравнения. По свойству линейности получаем:
L(x(t)) = СR L(y′(t)) + L(y(t))
По свойству преобразования производной:
L(x) = СR (sL(y)-y(0)) + L(y), пусть y(0) = k.
Отсюда L(x) = L(y)(1+CRs) – CRk
То есть

Слайд 36

Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального

уравнения (но это Лаплас–образ решения!).
Преобразование Лапласа дифференциального уравнения привело к простому алгебраическому уравнению. Теперь нужно вернуться к исходной переменной t, то есть требуется провести обратное преобразование.
Пусть CR=1, x(t) = cos t, k=y(0) = 0. Тогда

Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Слайд 37

Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем
Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Слайд 38

Пример. Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания :
y′′(t) + ω2y(t)

= r(t)
Дважды применяя свойство преобразования производной,
получаем
s2 Y(s) – sy(0) – y′(0) + ω2Y(s) = R(s), где Y и R обозначают Лаплас-образы соответствующих функций.
Решая полученное алгебраическое уравнение, получаем

Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Слайд 39

Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t.
Тогда

Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Слайд 40

Графики входного и выходного сигналов :
Решение диф. уравнений преобразованием

Лапласа

Слайд 41

3.6. Обратное преобразование Лапласа
Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами

интегрирования от 0 до +∞. Будем предполагать, что функция f(t) = 0 для t < 0.
Обратным преобразованием Лапласа функции F(s) называется интегральное преобразование
где путь интегрирования идет вдоль прямой линии
C: Re s = c, c = const

Слайд 42

Обратное преобразование Лапласа
Прямая линии C: Re s = c,

c = const
имеет график

Re s

Im s

Интегрирование комплексной функции по контуру

Слайд 43

Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
1) Если контур замкнут и

комплексная функция f(z), z=x+iy имеет производные всех порядков по x, по у и смешанные производные (аналитическая функция), то

Слайд 44

Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
2) Если комплексная функция f(z)

имеет эти производные во всех точках внутри контура, кроме точки z0=(x0, y0) то

Слайд 45

Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если , g(z) – аналитическая

функция, то вычет в точке a=(x0, y0) равен g(a), то есть интеграл

Слайд 46

Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти интеграл по контуру от комплексной

функции

Заменяем переменную s на α и интегрируем:

Слайд 47

The Laplace Transform Pair
Inverse Transform:
The above integration makes use of the

Cauchy Principal Value Theorem:

If F(s) is analytic then

Example 1 (continued), decaying exponential

Слайд 48

Обратное преобразование Лапласа
Существуют 2 способа вычисления обратного преобразования Лапласа :
1)

вычислять интеграл на прямой комплексной плоскости;
2) вычислять интеграл как обратный от Лаплас-образа по таблице преобразования Лапласа.
Первый способ универсальный, но требует хорошей математической подготовки. Обычно инженер не выходит за рамки некоторого набора распространенных функций и использует таблицу.

Слайд 49

Обратное преобразование Лапласа

Слайд 50

Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Лапласа от рациональной функции.
Функция F(s) называется рациональной,

если

где N(s) и D(s) – многочлены от переменной s. Значения s, для которых N(s) = 0 называются нулями функции F(s), значения s, для которых D(s) = 0 называются полюсами функции F(s).
Для функции

полюса : -4, -3; нуль : -2

полюс : -1/2; нуль : 3

Слайд 51

Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции
Требуется

вычислить интеграл

Re s

Im s

Слайд 52

Обратное преобразование Лапласа
Рациональную функцию F(s) интегрируют простыми правилами.
1) F(s)

разлагается в сумму простых дробей,
коэффициенты (в нашем случае k1, k2 ) вычисляют решением линейных уравнений.

2) Для вычисления преобразования применяем таблицу преобразования Лапласа и свойство линейности. Тогда Лаплас- прообраз функции F(s):

Слайд 53

Page
Обратное преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа от свертки
Доказательство:

Слайд 54

Page
Обратное преобразование Лапласа
В частности, для свертки с импульсом получается:
Обратное преобразование

от произведения функций равно свертке их прообразов :
L-1(F(s) G(s)) = f(t)*g(t)
Прямое преобразование от произведения функций равно свертке их образов :

Получена формула импульсного метода!

Слайд 55

Page
Обратное преобразование Лапласа
Покажем, что :

Слайд 56

3.7.z-преобразование
Цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей

(дискретных значений сигнала). Для обработки непрерывных функций существует мощный математический аппарат, построенный на базе преобразований Лапласа и Фурье. Но применение этих преобразований к последовательности невозможно. Оно производится только над функциями. z-преобразование является, в некотором смысле, аналогом преобразования Лапласа для последовательностей. z-преобразование (двухстороннее) последовательности x(n) задается следующей формулой:

Основной математический аппарат

Содержание

Основной математический аппарат3.1. δ – функция Дирака.3.2. Функция единичного скачка.3.3. Функция

3.1. δ – функция ДиракаВ 1930 году для решения задач теоретической

δ – функция Дирака

δ – функция Дирака

δ – функция ДиракаЧем более узкой сделать полоску между левой

δ – функция ДиракаФункции, из которых предельным переходом получается δ

3.2. Функция единичного скачкаОпределим функцию единичного скачка, которая называется еще

Производная функции Хевисайда существует и равна нулю во всех точках, кроме

То функции такого вида выражаются в виде Функция единичного скачкаxA

Производные таких функций равны Функция единичного скачкаПри а = 1, 2,

3.3. Функция распределения дискретной случайной величиныПусть дискретная случайная величина X(ω)

Функция распределения дискретной с.в.Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины

График этой функция распределения FX(x):Функция распределения дискретной с.в.1/25/6FX(x)102x1

Как известно из теории вероятностей, производной такой функция распределения FX(x) не

кафедра ЮНЕСКО по НИТДля построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию

Вернемся к функции распределения FX(x):1/25/6FX(x)102x1 Функция распределения дискретной с.в.

Такую функцию плотности FX(x) можно выразить через функцию единичного скачка 1(x)

Функцию плотности FX(x) можно записать через функцию единичного скачка 1(x) в

3.4. Преобразование Лапласа Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа L{ f(t)} = F(s)Дифференц уравнение f(t)Алгебраическоеуравн F(s)Решение алг уравнения

Преобразование Лапласа Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t

Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда)Решение.

Преобразование Лапласа Пример. Найти преобразование Лапласа функции eatРешение. При Re

Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда 1(x-a) с

Преобразование Лапласа Найдем преобразование Лапласа для функций sin ωt и

Преобразование Лапласа Переходит к определенному интегралу :

Преобразование Лапласа Упражнение. Найти преобразование Лапласа для функций f(t) =

Преобразование Лапласа Существуют таблицы преобразований Лапласа

Преобразование Лапласа Свойства преобразования Лапласа1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t))

Преобразование Лапласа

Доказательство интегрального свойства (свойство 4)Преобразование ЛапласаТогда Определим функцию g(t) :

(иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому Преобразование ЛапласаЗначение

Преобразование Лапласа Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции

3.5.Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа Применение преобразования Лапласа к диф

Если задана функция x(t), то это выражение дает решение исходного дифференциального

Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Пример. Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания :y′′(t) + ω2y(t)

Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t. Тогда

Графики входного и выходного сигналов : Решение диф. уравнений преобразованием

3.6. Обратное преобразование Лапласа Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами

Обратное преобразование Лапласа Прямая линии C: Re s = c,

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику1) Если контур замкнут и

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математику2) Если комплексная функция f(z)

Обратное преобразование Лапласа Вспоминаем высшую математикуЕсли , g(z) – аналитическая

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти интеграл по контуру от комплексной

The Laplace Transform PairInverse Transform:The above integration makes use of the

Обратное преобразование ЛапласаСуществуют 2 способа вычисления обратного преобразования Лапласа : 1)

Обратное преобразование Лапласа

Обратное преобразование ЛапласаОбратное преобразование Лапласа от рациональной функции.Функция F(s) называется рациональной,

Обратное преобразование Лапласа Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции Требуется

Обратное преобразование Лапласа Рациональную функцию F(s) интегрируют простыми правилами.1) F(s)

Page Обратное преобразование ЛапласаПреобразование Лапласа от сверткиДоказательство:

Page Обратное преобразование ЛапласаВ частности, для свертки с импульсом получается:Обратное преобразование

Page Обратное преобразование ЛапласаПокажем, что :

3.7.z-преобразованиеЦифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей

Похожие презентации

Основной математический аппарат
3.1. δ – функция Дирака.
3.2. Функция единичного скачка.
3.3. Функция

3.1. δ – функция Дирака
В 1930 году для решения задач теоретической

δ – функция Дирака
Чем более узкой сделать полоску между левой

δ – функция Дирака
Функции, из которых предельным переходом получается δ

3.2. Функция единичного скачка
Определим функцию единичного скачка, которая называется еще

То функции такого вида выражаются в виде
Функция единичного скачка
x
A

Производные таких функций равны
Функция единичного скачка
При а = 1, 2,

3.3. Функция распределения дискретной случайной величины
Пусть дискретная случайная величина X(ω)

Функция распределения дискретной с.в.
Тогда функция распределения FX(x) дискретной случайной величины

График этой функция распределения FX(x):
Функция распределения дискретной с.в.
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1

кафедра ЮНЕСКО по НИТ
Для построения функции плотности pX(x) вначале построим функцию

Вернемся к функции распределения FX(x):
1/2
5/6
FX(x)
1
0
2
x
1
Функция распределения дискретной с.в.

3.4. Преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа применяется для исследования дифференциальных уравнений.

Преобразование Лапласа
L{ f(t)} = F(s)
Дифференц
уравнение f(t)
Алгебраическое
уравн F(s)
Решение алг
уравнения

Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t

Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда)
Решение.

Преобразование Лапласа
Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat
Решение.
При Re

Преобразование Лапласа
Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда 1(x-a) с

Преобразование Лапласа
Найдем преобразование Лапласа для функций sin ωt и

Преобразование Лапласа
Переходит к определенному интегралу :

Преобразование Лапласа
Упражнение. Найти преобразование Лапласа для функций f(t) =

Преобразование Лапласа
Существуют таблицы преобразований Лапласа

Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа
1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t))

Доказательство интегрального свойства (свойство 4)
Преобразование Лапласа
Тогда
Определим функцию g(t) :

(иначе интеграл расходится и преобразования Лапласа не существует) поэтому
Преобразование Лапласа
Значение

Преобразование Лапласа
Применяя свойство 3 найдем преобразование Лапласа для дельта-функции

3.5.Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа
Применение преобразования Лапласа к диф

Применяя таблицу преобразования Лапласа, получаем
Решение диф. уравнений преобразованием Лапласа

Пример. Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению колебания :
y′′(t) + ω2y(t)

Пусть ω =1, y(0) = y’(0)=1, r(t) = sin 2t.
Тогда

Графики входного и выходного сигналов :
Решение диф. уравнений преобразованием

3.6. Обратное преобразование Лапласа
Преобразования Лапласа содержит интеграл с пределами

Обратное преобразование Лапласа
Прямая линии C: Re s = c,

Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
1) Если контур замкнут и

Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
2) Если комплексная функция f(z)

Обратное преобразование Лапласа
Вспоминаем высшую математику
Если , g(z) – аналитическая

Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти интеграл по контуру от комплексной

The Laplace Transform Pair
Inverse Transform:
The above integration makes use of the

Обратное преобразование Лапласа
Существуют 2 способа вычисления обратного преобразования Лапласа :
1)

Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Лапласа от рациональной функции.
Функция F(s) называется рациональной,

Обратное преобразование Лапласа
Пример. Найти обратное преобразование Лапласа функции
Требуется

Обратное преобразование Лапласа
Рациональную функцию F(s) интегрируют простыми правилами.
1) F(s)

Page
Обратное преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа от свертки
Доказательство:

Page
Обратное преобразование Лапласа
В частности, для свертки с импульсом получается:
Обратное преобразование

Page
Обратное преобразование Лапласа
Покажем, что :

3.7.z-преобразование
Цифровая обработка сигналов есть не что иное, как обработка последовательностей