Поток векторного поля

xOz, то для вычисления потока П пользуются соответственно формулами:

(4)

или

(5)

Формула (4) применяется в случае, когда поверхность S проектируется взаимно однозначно в область Dyz плоскости yOz, а значит, ее можно задать уравнением x=φ(y,z); cosα находится как коэффициент при орте i в формуле

Ох, имеющую форму прямоугольника со сторонами, равными 1 и 2 (см. рис.), в положительном направлении оси Ох.

Решение. Согласно определению потока вектора через поверхность S, будем иметь

В нашем случае а=i, п0 =i, так что

Замечание. Выбрав единичный вектор (орт) нормали к площадке S так, что n0= – i, получили бы П = –2.

Учитывая то, что площадь прямоугольника равна 2, получим

— радиус-вектор, через прямой круговой цилиндр с высотой h, радиусом основания R и осью Оz.

Решение. Поверхность S состоит из боковой поверхности σ1, верхнего основания σ2 и нижнего основания σ3 цилиндра.

Искомый поток П в силу свойства аддитивности будет равен

где П1, П2, П3 — потоки данного поля через σ1, σ2, σ3 соответственно.
На боковой поверхности σ1 цилиндра внешняя нормаль n0 параллельна плоскости хОу, и поэтому

положить п0 = k. Тогда

На нижнем основании σ3 вектор а =r перпендикулярен к нормали n0 = -k. Поэтому

можно взять

Но на сфере S имеем |r| = R, значит

откуда z=1-x-y.

Треугольник АВС проектируется взаимно однозначно на плоскость xOy в область Dxy, которой является треугольник ОАВ.
По условию нормаль n0 к плоскости, в которой лежит треугольник АВС, образует острый угол γ с осью Oz, поэтому