ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Содержание

2. Лекция 2.1 Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние
3. Два определения предела функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне). x1 a A f(x1) x2 x3 x4
4. Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши). a A x y y = f(x) 0 A - ε A +
6. Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если для
7. ТЕОРЕМА. Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.
8. Критерий Коши существования предела функции. ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функция f(x) имела предел в точке а,
9. Односторонние пределы. Пусть функция f(x) определена в Число А1 называется пределом слева функции f(x) в точке
10. Пусть функция f(x) определена в Число А2 называется пределом справа функции f(x) в точке а и
11. ПРИМЕР.
12. ТЕОРЕМА. Для существования необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы этой функции в точке а слева и
13. Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности. Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом
14. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция α(х) называется бесконечно малой при стремлении аргумента
15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(х) называется бесконечно большой при стремлении аргумента х к точке а, если для
16. Аналогично определяются пределы а также пределы
17. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х→ а
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Лекция 2.1
Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
Критерий Коши

существования предела функции.
Односторонние пределы и пределы при стремлении аргумента к бесконечности.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Слайд 3

Два определения предела функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).
x1
a
A
f(x1)
x2
x3
x4
f(x2)
f(x3)
f(x4)
x
y
y = f(x)
0

Слайд 4

Пусть функция f(x) определена в
Число А называется пределом

функции f(x) в точке а,
если для любой последовательности значений её аргумента
сходящейся к точке а
(т.е. ),
соответствующая последовательность значений функции {f(хn)}
сходится к А
(т.е. ).
В этом случае пишут

Слайд 5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши).
a
A
x
y
y = f(x)
0
A - ε
A + ε
a + δ
a

- δ

Слайд 6

Пусть функция f(x) определена в
Число А называется пределом функции f(x)

в точке а, если для любого числа ε > 0 найдется число δ(ε)>0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | x – a| < δ, выполняется неравенство
⎢f(x) – A ⎢< ε.
Последнее определение можно записать с помощью логических символов, используя понятие окрестностей:

Слайд 7

ТЕОРЕМА.
Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.

Слайд 8

Критерий Коши существования предела функции.
ТЕОРЕМА.
Для того, чтобы функция f(x) имела

предел в точке а, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε>0 существовала такая проколотая δ-окрестность точки а , что для всех
выполнялось бы неравенство ⎢f(x') – f(x'') ⎢< ε.

Слайд 9

Односторонние пределы.

Пусть функция f(x) определена в
Число А1 называется пределом

слева функции f(x) в точке а и обозначается
или f(а – 0), если ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству
а – δ < x < a,
выполняется неравенство
⎢f(x) – A1 ⎢< ε.

a - δ

A1 + ε

y = f(x)

A1 - ε

Слайд 10

Пусть функция f(x) определена в
Число А2 называется пределом справа функции

f(x) в точке а и обозначается
или f(а + 0), если ∀ε > 0 ∃ δ(ε) > 0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству
а < x < a + δ,
выполняется неравенство
⎢f(x) – A2 ⎢< ε.

a + δ

A2 + ε

y = f(x)

A2 - ε

Слайд 11

ПРИМЕР.

Слайд 12

ТЕОРЕМА.
Для существования необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы этой функции в

точке а слева и справа и

Слайд 13

Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Пусть функция f(x) определена в

Число А называется пределом функции f(x) при х → ∞, если ∀ε>0 ∃ δ(ε)>0, такое что для всех х, удовлетворяющих неравенству | x | > δ, выполняется неравенство
⎢f(x) – A ⎢< ε.
В этом случае пишут

A+ε

A - ε

- δ

+ δ

Слайд 14

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Функция α(х) называется бесконечно

малой при стремлении аргумента х к точке а, если
т.е. для любого ε > 0 существует такая проколотая δ -окрестность точки а что для всех
ЗАМЕЧАНИЕ.
Пользуясь определением предела функции в точке а и определением бесконечно малой при х → а нетрудно показать, что
f(x) = А + α(х), где α(х) → 0 при х → а.

Слайд 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Функция f(х) называется бесконечно большой при стремлении аргумента х к

точке а, если для любого ε > 0 существует такая проколотая δ -окрестность точки а что для всех
выполняется неравенство ⎢f(x) ⎢> ε.
В этом случае пишут

- ε

y = f(x)

Слайд 16

Аналогично определяются пределы
а также пределы

Слайд 17

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно

малых при х→ а функций есть бесконечно малая при х→ а функция.
Произведение бесконечно малой при х→ а функции на ограниченную функцию есть бесконечно малая при х→ а функция.
Пусть α(х) ≠ 0 в
α(х) – бесконечно малая при х → а функция тогда и только тогда, когда 1/α(х) – бесконечно большая при х → а.

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Содержание

Лекция 2.1Два определения предела функции в точке, их эквивалентность. Критерий Коши

Два определения предела функции в точке ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).x1aAf(x1)x2x3x4f(x2)f(x3)f(x4)xyy = f(x)0

Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши).aAxyy = f(x)0A - εA + εa + δa

Пусть функция f(x) определена в Число А называется пределом функции f(x)

ТЕОРЕМА. Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.

Критерий Коши существования предела функции. ТЕОРЕМА. Для того, чтобы функция f(x) имела

Односторонние пределы. Пусть функция f(x) определена в Число А1 называется пределом

Пусть функция f(x) определена в Число А2 называется пределом справа функции

ПРИМЕР.

ТЕОРЕМА. Для существования необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы этой функции в

Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности.Пусть функция f(x) определена в

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функция α(х) называется бесконечно

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функция f(х) называется бесконечно большой при стремлении аргумента х к

Аналогично определяются пределыа также пределы

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно

Похожие презентации

Лекция 2.1
Два определения предела функции в точке, их эквивалентность.
Критерий Коши

Два определения предела функции в точке
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 (Гейне).
x1
a
A
f(x1)
x2
x3
x4
f(x2)
f(x3)
f(x4)
x
y
y = f(x)
0

Пусть функция f(x) определена в
Число А называется пределом

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 (Коши).
a
A
x
y
y = f(x)
0
A - ε
A + ε
a + δ
a

Пусть функция f(x) определена в
Число А называется пределом функции f(x)

ТЕОРЕМА.
Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.

Критерий Коши существования предела функции.
ТЕОРЕМА.
Для того, чтобы функция f(x) имела

Односторонние пределы.

Пусть функция f(x) определена в
Число А1 называется пределом

Пусть функция f(x) определена в
Число А2 называется пределом справа функции

ТЕОРЕМА.
Для существования необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы этой функции в

Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Пусть функция f(x) определена в

Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Функция α(х) называется бесконечно

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Функция f(х) называется бесконечно большой при стремлении аргумента х к

Аналогично определяются пределы
а также пределы

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно