Лекц1-5A.ppt

Сентябрь 2, 2022

Содержание

2. Принцип вложенных отрезков. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система числовых отрезков [a1,b1], [a2,b2], …, [an,bn],…, где an ∈R, bn∈R, n∈N,
3. Доказательство. Последовательность левых концов отрезков {an} возрастает и ограничена сверху, например, числом b1. Тогда по свойству
4. an bn ξ ξ1 Покажем, что такая точка единственна. Предположим, что существует еще одна точка ξ1∈[an,
5. Понятие подпоследовательности числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность {xn}. Рассмотрим строго возрастающую последовательность натуральных чисел {nk},
6. Существование частичного предела у ограниченной ЧП ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если подпоследовательность числовой последовательности {xn} имеет предел, то
7. ТЕОРЕМА Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (любая ограниченная ЧП имеет хотя бы
8. Больцано (Bolzano) Бернард (1781 – 1848) Чешский математик и философ-идеалист. Ввел ряд важных понятий математического анализа,
9. Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897) Немецкий математик. Иностранный почетный член Петербургской АН. Труды по математическому анализу,
10. Доказательство теоремы. Пусть {xn} – ограниченная ЧП, тогда существуют числа a, b, такие, что a ≤
11. На каждом шаге получим отрезок [ak, bk] и точку так что nk > nk-1. Т.е. получим
12. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши) Последовательность {хn} называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию
13. Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789 – 1857) Французский математик, иностранный почетный член Петербургской АН (1831). Разработал
14. ЛЕММА. Фундаментальная ЧП является ограниченной. Доказательство. Возьмем ε =1. В силу условия Коши существует такое N(1),
15. ТЕОРЕМА. Для того, чтобы ЧП имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной. Доказательство. 1.
16. 2. Достаточность. Пусть ЧП {xn} фундаментальна. Докажем, что она имеет предел. Так как фундаментальная ЧП {xn}
17. ПРИМЕР 1. Докажем, что сходится числовая последовательность Оценим модуль разности Возьмем ∀ε > 0. Найдём N(ε)∈N
18. ПРИМЕР 2. Докажем, что числовая последовательность {xn}, где расходится. Последовательность {xn} расходится, если не выполнено условие
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Принцип вложенных отрезков.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Система числовых отрезков [a1,b1], [a2,b2], …, [an,bn],…, где

an ∈R, bn∈R, n∈N, называется системой вложенных отрезков, если
a1 ≤ a2 ≤ … an ≤ … ≤ bn ≤ … ≤ b2 ≤ b1,
т.е. если каждый следующий отрезок [an+1, bn+1] содержится в предыдущем.
ТЕОРЕМА.
Для всякой системы вложенных отрезков с длинами, стремящимися к нулю, существует единственная точка ξ, принадлежащая всем отрезкам данной системы, причем
ξ = sup{an} = inf{bn}.

Слайд 3

Доказательство.
Последовательность левых концов отрезков {an} возрастает и ограничена сверху, например, числом

b1.
Тогда по свойству Вейерштрасса существует
По свойству верхней грани an ≤ α ∀n.
Последовательность правых концов отрезков {bn} убывает и ограничена снизу, например, числом а1.
Тогда по свойству Вейерштрасса существует
По свойству нижней грани bn ≥ β ∀n.
С другой стороны bn= an+( bn– an), откуда, переходя к пределу, получим
Следовательно α = β = ξ и an ≤ ξ ≤ bn ∀n. Т.е. существует точка, принадлежащая всем отрезкам одновременно.

Слайд 4

an
bn
ξ
ξ1
Покажем, что такая точка единственна.
Предположим, что существует еще одна точка

ξ1∈[an, bn] ∀n.
Тогда
0 ≤ ⎢ξ–ξ1⎢≤ bn – an → 0 при n → ∞.
Отсюда, по теореме «о двух милиционерах», делаем вывод, что
ξ =ξ1.

Слайд 5

Понятие подпоследовательности числовой последовательности.
Пусть дана числовая последовательность {xn}.
Рассмотрим строго

возрастающую последовательность натуральных чисел {nk}, то есть такую, что
n1 < n2 < n3 <… Тогда числовая последовательность
называется подпоследовательностью числовой последовательности {xn}.

Пример.

{xn} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …

{yk} = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,11, 1213, 14, 15, 16, 17, 19, …

{zm} =2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11, 12, 7, 14, 15, 16, 17, … 13, …

{yk} – подпоследовательность последовательности {xn};
{zm} не является подпоследовательностью последовательности {xn}.

Слайд 6

Существование частичного предела у ограниченной ЧП
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.
Если подпоследовательность числовой последовательности

{xn} имеет предел, то этот предел называется частичным пределом числовой последовательности {xn}.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.
Наибольший и наименьший из частичных пределов последовательности {xn}, если они существуют, называют соответственно верхним и нижним пределом этой последовательности и обозначают символами
Пример.

{xn} = 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, …

Пример.

{xn} = {1+ (-1)n };

0 – частичный предел этой ЧП.

Слайд 7

ТЕОРЕМА
Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность
(любая

ограниченная ЧП имеет хотя бы один частичный предел) .
ПРИМЕР.

( Больцано-Вейерштрасса)

{xn} = {sin(nπ/2}

- ограничена, но не является сходящейся.

{x2n}={0},
{x4n-1}={–1}
{x4n-3}={1}

– сходящиеся подпоследовательности.

Слайд 8

Больцано (Bolzano) Бернард (1781 – 1848)
Чешский математик и философ-идеалист.
Ввел ряд важных понятий

математического анализа, обычно связываемых с более поздними исследованиями других математиков.

Слайд 9

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897)
Немецкий математик.
Иностранный почетный член Петербургской АН.
Труды по

математическому анализу, теории функций, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии и линейной алгебре. Разработал систему логического обоснования математического анализа.

Слайд 10

Доказательство теоремы.
Пусть {xn} – ограниченная ЧП, тогда существуют числа a,

b, такие, что
a ≤ xn ≤ b ∀n∈N.
Разделим отрезок [a, b] пополам.
Обозначим [a1, b1] правую его половину, если в ней бесконечное число элементов ЧП, и левую – в противном случае.
Выберем
Разделим отрезок [a1, b1] пополам.
Обозначим [a2, b2] правую его половину, если в ней бесконечное число элементов ЧП, и левую – в противном случае.
Выберем

так чтобы n2 > n1.

И т. д.

Слайд 11

На каждом шаге получим отрезок [ak, bk] и точку
так что

nk > nk-1.
Т.е. получим подпоследовательность
и систему вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, так как
Тогда, согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка ξ ∈ [ak, bk], ∀k.

Итак, построена подпоследовательность:

Расстояние между точками ξ и

не превосходит длины отрезка [ak, bk], т.е.

k → ∞

Слайд 12

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши)

Последовательность {хn} называется фундаментальной,

если она удовлетворяет условию Коши:
для любого ε > 0 существует такое натуральное число N(ε), что для любого n ≥ N(ε) и любого m ≥ N(ε) выполняется неравенство
хn – хm ⎜< ε.
Условие Коши можно записать в другом виде:
∀ ε > 0 ∃ N(ε)∈ Ν : ∀ n ≥ N(ε) и ∀ р ∈ Ν →
хn+ р – хn ⎜< ε.

Слайд 13

Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789 – 1857)
Французский математик, иностранный почетный

член Петербургской АН (1831).
Разработал базу математического анализа – теорию пределов.
Автор классических курсов математического анализа.

Слайд 14

ЛЕММА.
Фундаментальная ЧП является ограниченной.
Доказательство.
Возьмем ε =1.
В силу условия Коши существует

такое N(1), что для всех n ≥ N(1) и m ≥ N(1) выполняется неравенство
⎜ хn- хm ⎜< 1
В частности, и для m = N
⎜ хn- хN ⎜< 1.
Тогда
⎜ хn ⎜= ⎜ хn- хN+ хN⎜≤ ⎜ хn- хN ⎜+ ⎜хN ⎜< 1+⎜хN ⎜.
Возьмем
С = max {1+⎜хN ⎜, ⎜ х1 ⎜, ⎜ х2 ⎜, ..., ⎜хN-1 ⎜}.
Тогда для всех n справедливо неравенство
⎜ хn ⎜≤ С.

Слайд 15

ТЕОРЕМА.
Для того, чтобы ЧП имела предел, необходимо и достаточно, чтобы

она была фундаментальной.
Доказательство.
1. Необходимость.
Пусть существует
Согласно определению предела, ∀ε > 0 ∃ N(ε)∈ N : ∀n ≥ N(ε) и ∀m ≥ N(ε) →
⎜ хn - а ⎜< ε /2, ⎜ хm- а ⎜< ε /2.
Оценим модуль разности
⎜ хn– хm ⎜ = ⎜ хn – а + а – хm ⎜≤ ⎜ хn– а ⎜+ ⎜ хm– а ⎜ < ε/2 + ε/2 = ε.
Следовательно, ЧП удовлетворяет условию Коши, то есть является фундаментальной.

Докажем, что ЧП фундаментальна.

Слайд 16

2. Достаточность.
Пусть ЧП {xn} фундаментальна. Докажем, что она имеет предел.
Так как

фундаментальная ЧП {xn} является ограниченной, то, по теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность
Пусть
Возьмем ∀ε > 0.
По опр. предела последовательности ∃ N1(ε)∈N : ∀k ≥ N1(ε) →
По опр. фундаментальной ЧП ∃ N2(ε)∈N : ∀n ≥ N2(ε) , ∀m ≥ N2(ε) →
⎜ хn- хm ⎜< ε/2.
Пусть N(ε) = max{ N1(ε), N2(ε)}. Фиксируем номер nk ≥ N(ε).
Тогда при m = nk и ∀n ≥ N(ε) выполняется неравенство
Т.е. при ∀n ≥ N(ε) справедливо неравенство

Докажем, что а – предел исходной ЧП.

Слайд 17

ПРИМЕР 1.
Докажем, что сходится числовая последовательность
Оценим модуль разности
Возьмем ∀ε

> 0. Найдём N(ε)∈N : ∀n ≥ N(ε) →
Решая неравенство, получим N(ε) = [log2(1/ε)] + 1.
То есть ∀n ≥ N(ε) и ∀р ∈ N → ⎜ хn+p – хn⎜< ε.
Согласно критерию Коши, числовая последовательность сходится.

Слайд 18

ПРИМЕР 2.
Докажем, что числовая последовательность {xn}, где
расходится.
Последовательность {xn} расходится,

если не выполнено условие Коши, т.е.
∃ ε0 > 0: ∀ k∈ Ν ∃ n ≥ k ∃ m ≥ k : | хn – хm ⎜ ≥ ε0 .
Пусть задано ∀ k∈ Ν . Положим n = 2k , m = k . Тогда
| хn – хm ⎜ = | х2k – хk ⎜
Таким образом, условие
выполняется при ε0 = 1/2. Следовательно, в силу критерия Коши, числовая последовательность расходится.

Лекц1-5A.ppt

Содержание

Принцип вложенных отрезков. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система числовых отрезков [a1,b1], [a2,b2], …, [an,bn],…, где

Доказательство. Последовательность левых концов отрезков {an} возрастает и ограничена сверху, например, числом

anbnξξ1Покажем, что такая точка единственна. Предположим, что существует еще одна точка

Понятие подпоследовательности числовой последовательности. Пусть дана числовая последовательность {xn}. Рассмотрим строго

Существование частичного предела у ограниченной ЧПОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Если подпоследовательность числовой последовательности

ТЕОРЕМА Из всякой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (любая

Больцано (Bolzano) Бернард (1781 – 1848)Чешский математик и философ-идеалист.Ввел ряд важных понятий

Вейерштрасс Карл Теодор Вильгельм (1815-1897)Немецкий математик. Иностранный почетный член Петербургской АН.Труды по

Доказательство теоремы. Пусть {xn} – ограниченная ЧП, тогда существуют числа a,

На каждом шаге получим отрезок [ak, bk] и точку так что

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши) Последовательность {хn} называется фундаментальной,

Коши (Cauchy) Огюстен Луи (1789 – 1857) Французский математик, иностранный почетный

ЛЕММА. Фундаментальная ЧП является ограниченной. Доказательство. Возьмем ε =1. В силу условия Коши существует

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы ЧП имела предел, необходимо и достаточно, чтобы

2. Достаточность. Пусть ЧП {xn} фундаментальна. Докажем, что она имеет предел. Так как

ПРИМЕР 1. Докажем, что сходится числовая последовательность Оценим модуль разности Возьмем ∀ε

ПРИМЕР 2. Докажем, что числовая последовательность {xn}, где расходится. Последовательность {xn} расходится,

Похожие презентации