Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

Сентябрь 2, 2022

Главная
Алгебра
Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

Содержание

2. Свойства функций, имеющих предел. ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) имеет предел в точке а, то найдется
3. ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный от нуля, то найдется такая
4. ТЕОРЕМА 3. Если f (x) ≥ 0 в некоторой проколотой окрестности точки а и то А
5. ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах.) Если в некоторой проколотой окрестности точки а справедливы неравенства f(x) ≤
6. ТЕОРЕМА 5. Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой окрестности точки а, то Если
7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда f(xn) = с для
8. СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5. Если f(x) ≥ В в некоторой проколотой окрестности точки а и
9. Арифметика бесконечностей. Введем обозначения: С = const ≠ 0. ∞ – бесконечно большая функция произвольного знака;
10. Неопределенные ситуации, требующие исследования. 0/0 0⋅∞ ∞/∞ ∞ – ∞ 1∞ 00 ∞0
11. Асимптоты графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x),
12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при
13. Доказательство. Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = α(х), где α(х) бесконечно малая при х→
14. Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b = b+ α(х) –
15. ПРИМЕР. Найдем наклонные асимптоты графика функции Для этого вычислим необходимые пределы: Аналогично при х→ – ∞.
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Свойства функций, имеющих предел.
ТЕОРЕМА 1.
Если функция f(x) имеет предел в точке

а, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция ограничена.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
Тогда, по определению предела, для ε = 1 найдется такая проколотая δ-окрестность точки а , что для всех
выполняется неравенство
А – 1 < f(x) < А+1.
Это и означает ограниченность функции на множестве

Слайд 3

ТЕОРЕМА 2.
Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный

от нуля, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция сохраняет знак предела.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть
Тогда, по определению предела, для
найдется такая проколотая δ-окрестность точки а , что
Если А > 0, то из левого неравенства ⇒
если А < 0, то из правого неравенства ⇒

Слайд 4

ТЕОРЕМА 3.
Если f (x) ≥ 0 в некоторой проколотой окрестности точки

а и
то А ≥ 0.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела по Гейне.
Возьмем числовую последовательность
Тогда
Следовательно, по соответствующей теореме для числовых последовательностей, А ≥ 0.

и f( xn ) ≥ 0 для всех n.

сходящуюся к а.

Слайд 5

ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах.)
Если в некоторой проколотой окрестности точки

а справедливы неравенства f(x) ≤ g(x) ≤ ϕ(x)
и существуют то
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем
сходящуюся к а. Тогда
и f( xn) ≤ g( xn) ≤ ϕ ( xn) для всех n. Следовательно по теореме о двух
милиционерах для числовых последовательностей
т.е. существует

Слайд 6

ТЕОРЕМА 5.
Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой

окрестности точки а, то
Если существуют
тогда существуют и

Слайд 7

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП
сходящуюся к а. Тогда

f(xn) = с для всех n и
следовательно
2. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП
сходящуюся к а. Тогда
по теореме о пределе суммы для ЧП
то есть

Слайд 8

СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5.
Если f(x) ≥ В в некоторой проколотой

окрестности точки а
и то А ≥ В.
Если существует то для любого числа С

Слайд 9

Арифметика бесконечностей.
Введем обозначения:
С = const ≠ 0.
∞ – бесконечно большая

функция произвольного знака;
+ ∞ – бесконечно большая положительная функция;
– ∞ – бесконечно большая отрицательная функция;
0 – бесконечно малая функция;
1 – функция, предел которой равен 1.
Тогда имеют место следующие соотношения:
С⋅∞ = ∞
С/0 = ∞
С/∞ = 0
+ ∞ + ∞ = + ∞
–∞ – ∞ = – ∞
(+∞)С = + ∞, если С>0 (0, если C < 0)
(+∞)+∞ = + ∞

Слайд 10

Неопределенные ситуации, требующие исследования.
0/0
0⋅∞
∞/∞
∞

– ∞
1∞
00
∞0

Слайд 11

Асимптоты графика функции.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ.
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой

графика функции f(x), если выполнено хотя бы одно из условий:
ПРИМЕР.
Прямая х = 1 является вертикальной
асимптотой графика функции
так как

Слайд 12

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ.
Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой

графика функции f(x) при х→ + ∞ (при х→ – ∞), если
СПОСОБ ОТЫСКАНИЯ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ.
ТЕОРЕМА.
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х→ + ∞ (при х→ – ∞) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

Слайд 13

Доказательство.
Пусть
Тогда
f(x) – (kx + b) = α(х),
где α(х) бесконечно

малая при х→ + ∞. Отсюда получим, что

Слайд 14

Пусть
Тогда
f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b =

b+ α(х) – b = α(х) → 0 при х→ +∞.
ЗАМЕЧАНИЕ.
Для случая горизонтальной асимптоты теорема формулируется так:
Для того, чтобы прямая y = b была асимптотой графика функции f(x) при х→ + ∞, необходимо и достаточно, чтобы

Слайд 15

ПРИМЕР.
Найдем наклонные асимптоты графика функции
Для этого вычислим необходимые пределы:
Аналогично

при х→ – ∞.

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

Содержание

Свойства функций, имеющих предел. ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) имеет предел в точке

ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный

ТЕОРЕМА 3. Если f (x) ≥ 0 в некоторой проколотой окрестности точки

ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах.) Если в некоторой проколотой окрестности точки

ТЕОРЕМА 5. Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда

СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5.Если f(x) ≥ В в некоторой проколотой

Арифметика бесконечностей. Введем обозначения:С = const ≠ 0.∞ – бесконечно большая

Неопределенные ситуации, требующие исследования. 0/0 0⋅∞ ∞/∞ ∞

Асимптоты графика функции.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой

Доказательство.Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = α(х), где α(х) бесконечно

Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b =

ПРИМЕР. Найдем наклонные асимптоты графика функцииДля этого вычислим необходимые пределы: Аналогично

Похожие презентации