Предельные теоремы

В узком смысле слова под законом больших чисел понимается ряд математических

Пусть Х - случайная величина с мат.
ожиданием mx и дисперсией

НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА

Предположим, что случайная величина Х дискретна и ее ряд распределения имеет

Тогда дисперсия окажется больше полученной суммы:

Делаем замену:

Тогда неравенство сохраняется:

Последняя сумма представляет

Следовательно неравенство примет вид:

Откуда окончательно получаем:

ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА

Пусть Х -СВ с математическим ожиданием
a и дисперсией d.

КОММЕНТАРИЙ
Если проводятся серии из n опытов, то от
одной серии к

Говорят, что при достаточно большом
числе опытов среднее арифметическое
наблюдаемых значений случайной
величины

Пусть Хi - значение, принятое случайной величиной Х в i-ом опыте.
Чтобы

Все величины Хi распределены как случайная
величина Х. Следовательно,

M[Xi]=M[X]=a

Так как

Все величины Хi распределены как случайная величина Х. Следовательно,
D[Xi]=D[X]=d

Применим

В качестве СВ Х подставим Yn :

Подставляем найденное значение математического ожидания

Следствием закона больших чисел является теорема Я. Бернулли.
Она устанавливает связь между

ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ

Пусть событие А происходит в опыте с
вероятностью р. Будем проводить

КОММЕНТАРИЙ
Если проводятся серии из n опытов, то от
одной серии к

Пусть Х - случайная величина, которая равна 1, если событие А

Частота γn представляет собой величину

А это есть среднее арифметическое величины.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

ЦПТ устанавливает условия, при которых возникает самый распространенный

Поэтому отклонение снаряда от цели обусловлено суммой всех элементарных отклонений.
Поскольку

Если Х1, Х2... Хn - независимые случайные
величины, имеющие один и

Практически, ЦПТ можно пользоваться, когда число слагаемых в сумме невелико, порядка

попадает в интервал от α до β выражается формулой

где mz ,

То есть, чтобы приближенно найти вероятность попадания суммы большого числа случайных

Если закон распределения величины Z близок к нормальному с параметрами mz

Если величины Х1 Х2... Хn – дискретны, то их сумма тоже

M[Z90]=20·90=1800, D[Z90]= 200·90=18000

Сумма величин Z90=ΣXi за квартал будет распределена по нормальному

Частным случаем ЦПТ для дискретных случайных величин является

Пусть событие А