Содержание
- 2. ТРИГОНОМЕТРИЯ
- 3. тригономе́трия (от греч.τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в
- 4. Применение тригонометрии Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение
- 5. Числовая окружность sin cos 0 π π ⁄2 3π⁄2 180⁰ 360⁰
- 6. Тригонометрический круг— построенная на плоскости с прямоугольными декартовыми координатами окружность, имеющая центр в точке начала координат
- 8. Древнегреческие математики в своих построениях, связанных с измерением дуг круга, использовали технику хорд. Перпендикуляр к хорде,
- 9. Тригонометрические тождества Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента
- 10. Основные тригонометрические формулы
- 11. Поскольку синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α,
- 12. Непрерывность Синус и косинус — непрерывные функции. Тангенс и секанс имеют точки разрыва котангенс и косеканс
- 13. Чётность Косинус и секанс — чётные. Остальные четыре функции — нечётные, то есть:
- 14. Периодичность Функции — периодические с периодом 2π, функции y= сtg x и y= tg x —
- 15. ТРЕГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Тригонометри́ческие фу́нкции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали
- 16. : К тригонометрическим функциям относятся: во-первых, прямые тригонометрические функции синус (sin x), косинус (cos x); во-вторых,
- 17. Первоначально тригонометрические функции были связаны с соотношениями сторон в прямоугольном треугольнике. Их единственным аргументом является угол
- 18. Sin α Cos α Sec α Cosec α Tg α Ctg α
- 19. Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от
- 20. Синус и косинус вещественного аргумента являются периодическими непрерывными и неограниченно дифференцируемыми вещественнозначными функциями. Остальные четыре функции
- 21. Определение тригонометрических функций Обычно тригонометрические функции определяются геометрически. Пусть нам дана декартова система координат на плоскости,
- 22. Синусом называется отношение Косинусом называется отношение Тангенс определяется как Котангенс определяется как Определение тригонометрических функций Косеканс
- 23. Ясно, что значения тригонометрических функций не зависят от величины радиуса окружности R в силу свойств подобных
- 24. Численные значения тригонометрических функций угла α в тригонометрической окружности с радиусом, равным единице
- 25. Тригонометрические функции острого угла Во многих учебниках элементарной геометрии до настоящего времени тригонометрические функции острого угла
- 26. Определение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений Функции косинус и синус можно определить как чётное (косинус)
- 27. Функции косинус и синус можно определить как непрерывные решения (f и g соответственно) системы функциональных уравнений:
- 28. Определение тригонометрических функций через ряды Используя геометрию и свойства пределов, можно доказать, что производная синуса равна
- 29. Пользуясь этими формулами, а также уравнениями можно найти разложения в ряд Тейлора и других тригонометрических функций:
- 30. Значения тригонометрических функций для некоторых углов Значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса для некоторых
- 32. Значения тригонометрических функций нестандартных углов
- 35. Формулы приведения ♦ Формулами приведения называются формулы следующего вида: Здесь f — любая тригонометрическая функция, g
- 36. Некоторые формулы приведения:
- 37. Формулы сложения
- 38. Аналогичные формулы для суммы трёх углов:
- 39. Формулы двойного угла:
- 40. Формулы тройного угла:
- 41. Формулы половинного угла:
- 42. Произведения ♦ Формулы для произведений функций двух углов:
- 43. Аналогичные формулы для произведений синусов и косинусов трёх углов:
- 44. Степени
- 45. Суммы
- 46. Для функций от аргумента x существует представление: где угол ϕ находится из соотношений:
- 47. Однопараметрическое представление Все тригонометрические функции можно выразить через тангенс половинного угла.
- 48. Производные и интегралы Все тригонометрические функции непрерывно и неограниченно дифференцируемы на всей области определения:
- 49. Интегралы тригонометрических функций на области определения выражаются через элементарные функции следующим образом:
- 50. Тригонометрические функции комплексного аргумента Формула Эйлера: позволяет определить тригонометрические функции от комплексных аргументов через экспоненту или
- 51. Соответственно, для вещественного x,
- 52. Комплексные синус и косинус тесно связаны с гиперболическими функциями: Большинство перечисленных выше свойств тригонометрических функций сохраняются
- 53. Комплексные графики На следующих графиках изображена комплексная плоскость, а значения функций выделены цветом. Яркость отражает абсолютное
- 54. Тригонометрические функции в комплексной плоскости
- 55. Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса
- 56. Обратные тригонометрические функции Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим
- 57. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат.
- 58. Основное соотношение
- 59. Функция arcsin Арксинусом числа m называется такое значение угла x, для которого Функция y = sin
- 60. График функции y = arcsin x.
- 61. при при (область определения), (область значений).
- 62. Свойства функции arcsin ♦ (функция является нечётной). ♦ При ♦ при x = 0. ♦ При
- 63. Получение функции arcsin Дана функция y = sin x. На всей своей области определения она является
- 64. Функция arccos Арккосинусом числа m называется такое значение угла x, для которого
- 65. График функции y = arccos x. Функция y = cos x непрерывна и на всей своей
- 66. •cos(arccos x) = x при •arccos(cos y) = y при •D(arccos x) = [ − 1;1],
- 67. Свойства функции arccos ♦ (функция центрально-симметрична относительно точки ♦ при ♦ При ♦ ♦ ♦ ♦
- 68. Получение функции arccos Дана функция y = cos x. На всей своей области определения она является
- 69. Функция arctg
- 70. Арктангенсом числа m называется такое значение угла α, для которого Функция и ограничена на всей является
- 71. Свойства функции arctg
- 72. Получение функции arctg Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное
- 73. Функция arcctg
- 74. функции y=arcctg x Арккотангенсом числа m называется такое значение угла x, для которого Функция непрерывна и
- 75. Свойства функции arcctg • • • (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых х.
- 76. Получение функции arcctg Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит,
- 77. Функция arcsec Функция arccosec
- 78. Производные от обратных тригонометрических функций
- 79. Интегралы от обратных тригонометрических функций Неопределённые интегралы Для действительных и комплексных x:
- 80. Для действительных x ≥ 1:
- 81. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ В ГЕОМЕТРИИ Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например
- 82. В прямоугольном треугольнике, эти функции от отношений сторон сразу дают угол: α = arcsin (a/c) =
- 83. •sin x = a. Если | a | > 1 — вещественных решений нет. Если —
- 84. • Решением является число вида • Решением является число вида
- 85. Универсальная тригонометрическая подстановка Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при ).
- 86. Редко используемые тригонометрические функции Редко используемые тригонометрические функции — функции угла, которые в настоящее время используются
- 88. Определение тригонометрических функций через окружность. Отрезки CD и DE описывают соответственно версинус и эксеканс. •Синус-верзус (другие
- 89. •Гаверсинус (англ. haversinus, сокращениеот half the versed sine).Определяется как Используется также обозначение •Эксеканс (англ. exsecant) или
- 90. Использование Версинус, коверсинус и гаверсинус были удобны для ручных расчётов с использованием логарифмов, поскольку они всюду
- 91. Графики версинуса, коверсинуса и гаверсинуса
- 92. Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой
- 93. Пример. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7. Решение. Нам нужно, отправляясь из точки А(0)
- 94. Итак, на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только,
- 96. Скачать презентацию